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Re: Über das Auswahlaxiom

Hi Anonymous.

Das ist der von mir erwähnte Zusammenhang: Wenn man das AC zur Verfügung hat, kann man beweisen, dass jede Menge zu einer Kardinalzahl gleichmächtig ist (Ich gehe einmal von der Definition aus, dass eine Kardinalzahl als Ordinalzahl definiert ist, die zu keiner echt kleineren Ordinalzahl gleichmächtig ist)
Man kann ebenfalls (auch ohne den obigen Satz) beweisen, dass die Kardinalitäten zweier Mengen miteinander vergleichbar sind, d.h. dass es zu je zwei Mengen A und B eine injektive Abbildung A->B oder B->A gibt.
Solche Sachen machen das Arbeiten mit Kardinalzahlen erst richtig gemütlich. Ohne das Auswahlaxiom bekommt man viele unschöne Dinge, z.B. kann man dann nicht beweisen, dass AxA zu A gleichmächtig ist für alle unendlichen A (denn dieser Satz ist äquivalent zum AC). Die Vergleichbarkeit aller Mengen kann man ebenfalls nicht zeigen (auch dies ist äquivalent zum AC), ebenso fällt das Zuordnen einer Kardinalzahl in obigem Sinne weg (auch dies ist... na denks dir ;-) )


@Cerebus:
Da hast du natürlich auch wieder Recht...

mfg Gockel.
 
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