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Re: Über das Auswahlaxiom

Hi.

Nein, wie kommst du darauf? Das ist ganz offensichtlich nicht der Fall. Sie sind weder gleich noch gleichmächtig:
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Die Grundaussage des ACs hast du richtig verstanden: Egal wieviele und welche Mengen man hat, sobald sie alle nichtleer ist, kann ich aus allen je ein Element auswählen.

Wie die Beweise genau ausschauen, ist unterschiedlich.
Eine Möglichkeit wäre z.B., dass man zeigt, dass das AC den Wohlordnungssatz (jede Menge kann wohlgeordnet werden) impliziert. Dann hat man nämlich zu jeder Menge auch mindestens eine isomorphe Ordinalzahl (Jede Wohlordnung ist auch ohne AC zu genau einer Ordinalzahl isomorph). Und von all den Ordinalzahlen, zu denen eine feste Menge X gleichmächtig ist, kann man demzufolge auch eine Kleinste auswählen (Die Ordinalzahlen sind selbst wohlgeordnet). Diese ist dann eine Kardinalzahl.

Die Vergleichbarkeit folgt bereits daraus, denn die Ordinalzahlen (und speziell die Kardinalzahlen) sind auch ohne AC immer miteinander vergleichbar. Ein alternativer Beweis nutzt das Zorn'sche Lemma aus (was sehr oft vorkommt bei solchen Beweisen, die das AC involvieren).
Ich kann das ja mal kurz von der Idee her demonstrieren:

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mfg Gockel.
 
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