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| Re: Drei wohlbegründete Lösungen für ein Problem |
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Ich möchte die Diskussion hier nochmal aufnehmen, unter anderem weil ich jetzt ein wenig mehr Ahnung von Maßtheorie habe und auch weil ich glaube, dass mittlerweile mehr Leute da sind, die sich damit weiter auskennen.
Zunächst möchte ich einmal Christians Problem anerkennen und die Frage aufgreifen: Gibt es eine Sekantenlänge die sich durch die Anzahl der Sekanten dieser Länge den anderen gegenüber auszeichnet?
Nehmen wir den Ansatz mit den Mittelpunkten auf und sagen, dass jeder Punkt eindeutig eine Sekante bestimmt, deren Mittelpunkt er ist. Dadurch bekommen wir das Problem, dass das mit dem Mittelpunkt (des Kreises) nicht funktioniert, da dieser der Mittelpunkt von sogar überabzählbar vielen Sekanten ist. Es zeigt sich nun aber, dass alle Mittelpunkte zu Sekanten gleicher Länge auf einer Kreislinie, die zum ursprünglichen Kreis konzentrisch ist. (Ausnahme Mittelpunkt)
Bilden wir nun eine Strecke vom Mittelpunkt zum Kreisrand. Wir erhalten so einen Mittelpunkt zu einer Sekante jeder möglichen Länge. Lassen wir diese Strecke nun einmal rotieren, so erhalten wir jede Sekante einmal, bis auf die Sekanten durch den Mittelpunkt. Die bekommen wir doppelt. Dies hieße also dass es zu beliebiger Länge ]0,d[ doppelt so viele Sekanten gäbe, wie zur Länge d.
Nehmen wir nun an, dass die Punkte in ]0,d] gleichverteilt sind, jeder Punkt also mit der gleichen Wahrscheinlichkeit getroffen wird. Das heißt wir bekommen nun jede Länge aus ]0,d[ mit gleicher Wahrscheinlichkeit, nur die Länge d mit halber Wahrscheinlichkeit. So könnten wir aus Lösung vier auch noch eine Lösung 5 machen:
Der Einfachheit setze ich d=1, denn was für Tangenten gilt, gilt auch für Sekanten, ich kann zu jeder Sekante im kleineren Kreis eine eindeutig bestimmte Sekante im größeren Kreis finden (z.B. Verhältnis von Abstand des Mittelunkts zum Rand zu Radius).
Wir betrachten die Gleichverteilung auf ]0,2[ und ordnen jedem Punkt x eine bestimmte Länge zu. Und zwar auf folgende Weise: x<=1 impliziert Sekantenlänge=x und x>1 impliziert Sekantenlänge=2-x (x-1 würde zu einem äquivalenten Ergebnis führen). So bekommen wir also jede Länge mit der vorher bestimmten Wahrscheinlichkeit.
Die Wahrscheinlichkeit für Sekantenlänge>sqrt(3)/2 ((größer als die Seite des gleichseitigen Dreiecks)) ist dann 2*(1-sqrt(3)/2)\approx 0.266
Auch bleibe ich dabei, dass die oben genannten Lösungen in sich stimmig sind. Der Widerspruch, der scheinbar in ihnen auftaucht entsteht erst, wenn man die einzelnen Varianten miteinander vermixt und die Kriterien der einen Lösungsvariante auf die der anderen anwendet.
Gruß,
Felix |
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