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Re: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Hi Leute. Ich habe vor einiger Zeit übrigens einen sehr interessanten Satz bewiesen, der sozusagen den Kreis vom Struktursatz zu den primen Restklassengruppen wieder schließt: \darkred\ Sei A eine endliche, abelsche Gruppe. Dann existiert ein n, so dass A zu einer Untergruppe und zu einer Faktorgruppe von \IZ_n^x isomorph ist. Für den Beweis braucht man diese zwei Lemmata: \(\Phi_n sei dabei das n\-te Kreisteilungspolynom\) (siehe dazu hier im Forum) \darkred\ array(Lemma 1)__ Seien k,n\el\IN. Für jeden Primteiler p von \Phi_n(k) gilt dann p\|n oder p==1 (mod n). \blue\ Beweis: Ist p\teiltnicht\ n, so sind die Nullstellen von \Phi_n in array(\IF_p)^- genau die primitiven n\-ten Einheitswurzeln. Daher folgt aus p\teiltnicht\ n und \Phi_n(k)==0 (mod p), dass k die multiplikative Ordnung n in \IF_p^x hat. => n\|p-1 => p==1 (mod n). \blue\ q.e.d. \darkred\ array(Lemma 2)__ Für jedes n>1 existieren unendlich viele q\el\IP mit q==1 (mod n) \blue\ Beweis: Angenommen, die Aussage wäre falsch. Dann wäre die Menge menge(p\el\IP | p==1 (mod n) \or p\|n) endlich. Sei m das Produkt aller Primzahlen in dieser Menge. Sei s_k ein Primteiler von \Phi_n(m^k). Dann gilt nach Lemma 1 entweder s_k \| n oder s_k==1 (mod n). Das hieße jedoch s_k \| m. Nun gilt aber auch \Phi_n(m^k)==0 (mod s_k) => (m^k)^n-1==0 (mod s_k) => ggT(m,s_k)=1 Es ergibt sich also ein Widerspruch, es kann kein solches s_k geben. Das wiederum hieße, dass \Phi_n(m^k)=+-1 für alle k\el\IN ist. Das ist aber ebenfalls nicht möglich, da sowohl \Phi_n(x)-1 als auch \Phi_m(x)+1 nur endlich viele Nullstellen haben. Also muss die ursprüngliche Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen q mit q==1 (mod n) falsch sein. \blue\ q.e.d. \darkred\ array(Satz)__ Sei A eine endliche, abelsche Gruppe. Dann existiert ein n, so dass A zu einer Untergruppe und zu einer Faktorgruppe von \IZ_n^x isomorph ist. \blue\ Beweis: Sei A~=produkt(\IZ_d_i,i=1,k). Zu jedem d_i gibt es nun ein p_i, so dass p_i==1 (mod d_i) <=> d_i \| p_i-1. Da es nach Lemma 2 immer unendlich viele solcher p gibt, können wir oBdA annehmen, dass p_i
 
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