Die Begriffe in einer Definition, die zur Festlegung der Bedeutung benutzt werden, müssen zuvor ebenfalls definiert worden sein.

Irgendwo landet man aber im Nichts. Was ist eine Zahl? Die Frage ist ebenso schwer zu beantworten wie: "Was ist ein Tisch?".
Ein Tisch ist ein Tisch.
Man kann daran sitzen, Dinge darauflegen. Man erkennt einen Tisch an seiner Funktion, nicht an seinen Eigenschaften. Unter den Tischen gibt es solche aus Holz oder Metall oder Stein oder noch anderen Materialien. Man kann Tische unterscheiden nach der Anzahl der Beine und auch nach der Größe.
So verhält es sich auch mit einer Zahl. Eine Zahl ist, womit man Rechnen, Zählen oder Messen kann. Zahlen haben Eigenschaften, sie können ganz sein oder rational oder positiv oder infinitesimal klein.

Eine vernünftige Definition gründet in der Anschauung oder Erfahrung - man kann sagen im mathematischen Nichts.
Damit hat sich schon Euklid abgemüht, als er postulierte: "Ein Punkt ist, was kein Teil hat".

Darauf aufbauend werden Gedanken in mathematischer Sprache formalisiert.

Für die Grundsteinlegung mathematischer Theorien kommen neben Definitionen auch die sogenannten Axiome in Betracht.

Das Axiom

Ein Axiom beschreibt eine Funktionalität ("man kann daran sitzen"). Dagegen vergibt eine Definition einen Namen für eine Eigenschaft ("Ein Tisch aus Holz ist ein Holztisch").

Beispiele für Axiome:

• Eine Zahl ist, womit man Rechnen, Zählen oder Messen kann.
• Zu jeder Zahl kann man eine andere Zahl finden, die größer ist.
• Aus a<b und b<c folgt a<c.

Der Betrachtungsgegenstand eines Axioms liegt in keiner Weise fest. Es ist vielmehr so, daß in der Mathematik nach Betrachtungsgegenständen gesucht wird, die bestimmte Axiome erfüllen.

Durch die Unterscheidung von Funktionalität und Eigenschaft (Daten) ist die Mathematik die erste objektorientierte Wissenschaft.

Den Betrachtungsgegenständen, die bestimmte Axiome erfüllen, oder die eigenen oder üblichen Definitionen entsprechen, gewinnt der Mathematiker durch tiefsinniges Denken dann neue Erkenntnisse ab. Er formuliert diese Erkenntnisse als sog. 'Sätze'.
Ein Satz in der Mathematik ist darum etwas völlig anderes, als ein Satz in einer anderen Sprache. Ein Satz beinhaltet eine Voraussetzung und eine Folgerung.
Ein Satz erhält häufig einen Namen. Belanglose Sätze werden schlicht numeriert, etwa 'Satz 3', eine solche Bezeichnung ist kein Name und gar nicht verbindlich. Andere Sätze heißen z.B. "Vier-Farben-Satz" oder "Cauchy-Bernstein-Lemma".
Der Name nennt z.B. den oder die Entdecker des Satzes oder weist auf die hauptsächliche Aussage des Satzes an.
So heißt der Vier-Farben-Satz möglicherweise so, weil er von den Schweizer Mathematikern Johann Vier und Urs Farben bewiesen wurde. Dagegen könnte das Cauchy-Bernstein-Lemma etwas über die Verteilung von Bernstein in Cauchy-Räumen aussagen. [Die Geschichte eines Satzes kann lang sein und möglicherweise gibt es noch andere Deutungen für die Namen.]
Unter den Sätzen gibt es eine Hierarchie nach Nützlichkeit und Komplexität des Beweises.

Diese aufsteigende Hierarchie wird durch die Bezeichnungen wie

- Hilfslemma
- Lemma
- Korollar
- Proposition
- Satz
- Theorem
- Fundamentalsatz

Beispiele für Sätze

• Die Summe von zwei Pfmmh ist ein Pfmmh.
• Das Produkt zweier nichtnegativer Zahlen ist nichtnegativ.
• Die Seitenmitten eines Vierecks bilden ein Parallelogramm.

• Die Summe zweier Antipfmmh ist im allgemeinen kein Antipfmmh.
• Insbesondere ist 0 nichtnegativ.
• Der Satz über die Seitenmitten bei Vierecken gilt auch für räumliche Vierecke.

Wir möchten - weil wir wissen, daß es notwendig ist - den Anfänger darauf hinweisen, daß ein Mathematiker erst glaubt in den Himmel kommen zu können, wenn ein Lemma nach ihm benannt ist. [In den Himmel der Mathematiker!]
Darum sind die Lemmata auch häufig Streitpunkte unter Mathematikern. Sie werden geraubt oder falsch zugeordnet, und es entbrennt teilweise jahrelanger Streit in der Fachwelt über die korrekte Benennung (auch und gerade nach dem Ableben der direkt Beteiligten).

Konventionen

Dazu ein wirklich gelungenes Beispiel

Nach einer üblichen Konvention soll die Multiplikation stärker als die Addition binden.

Ein weiteres Beispiel:

So nennt man eine kreisförmige Bewegung "positiv orientiert", wenn sie gegen den Uhrzeigersinn erfolgt.

Nun hängen an Axiomen ganze mathematische Theorien. Und auf sinnvollen Definitionen erheben sich bedeutende Wissenschaftszweige. Aber an einer Konvention hängt nichts. Die Welt der Mathematiker sähe nicht anders aus, wenn man eine Bewegung im Uhrzeigersinn als "positiv orientiert" bezeichnete.

So, das war Lektion 1. Bevor wir mit Lektion 2 fortfahren, möchten wir einen kleinen Ausflug machen. Er betrifft

Das Bild des Mathematiker in der Öffentlichkeit

Richtiges Formulieren und richtiges Denken gehören für den Mathematiker zueinander.
Die mittelalterliche Kirchenlogik geht so: "Wenn Gott den Geringsten unter euch liebt, um wieviel mehr muß er dann den König lieben!"
Doch die mathematische Logik sagt: "Wenn Gott den Geringsten unter euch liebt, dann sagt das nicht, daß er den König liebt, denn der König ist ja nicht der Geringste". Außerdem, da wird gesagt: "Wenn Gott den Geringsten liebt", was vom mathematischen Standpunkt schon die Frage, OB Gott den Geringsten liebt, völlig unbeantwortet läßt.

Mathematiker erkennt man m.E. auch daran, daß sie auf Fragestellungen des realen Lebens stets nur unsichere (um nicht zu sagen: ausweichende) Antworten geben - oder sie stellen Gegenfragen (Steffi Graf?). Ist das ein Axiom?

Das hört sich aus dem Munde eines Mathematikers dann so an:

"In der wirklichen Praxis sind die Probleme natürlich nicht ganz so einfach."

Wir setzen nun den Sprachkurs fort und werden praktisch.

Lektion 2. Universelles Vokabular

Mathematisch	Deutsch
nicht schwarz	rot oder blau oder irgendetwas, nur nicht schwarz
nichtleer	mit Inhalt
nichtnegativ	positiv oder null
notwendig	unverzichtbar, aber nicht immer ausreichend
hinreichend	ausreichend, aber meist mehr als nötig
und	beides (sowohl ... als auch ...)
oder	eines oder beides
entweder ... oder ...	eines aber nicht beides
... bezeichnet man ...	nennt man
Nach Axiom (3) folgt ...	Durch Verwendung von Axiom (3) ergibt sich [nicht etwa: Hinter Axiom (3) steht!]
Die Darstellung ist eindeutig.	Es gibt nicht 2 (oder mehr) Darstellungen [nicht etwa: Es gibt eine Darstellung]
im allgemeinen	immer [nicht etwa: meistens] abgekürzt: i.a. Beispiel: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypothenuse i.a. die längste Seite.
im allgemeinen nicht	nicht immer [nicht etwa: selten] Beispiel: Ein Viereck ist im allgemeinen nicht quadratisch.
o.B.d.A.	"ohne Beschränkung der Allgemeinheit". Verwendung immer dann wenn Mathematiker irgendwelche Symmetrieeigenschaften ausnutzen, um die Anzahl der zu betrachtenden Fälle auf die Hälfte zu reduzieren. Beispiel: Seien a und b reelle Zahlen. Sei o.B.d.A. a<b. Ansonstens wird der erprobte Mathematiker eben alle a's in b's und alle b's in a's umbenennen. Dann stimmt es wieder.
trivial	ein sehr einfacher Sachverhalt oder Beispiel, eigentlich nicht der Betrachtung wert, unter Niveau Beispiel: Die Gleichung x3 + y3 = z3 hat die triviale Lösung x = y = z = 0
nicht trivial	Unter Ausschluß von trivialen Beispielen. Beispiel: Gesucht sind nicht triviale Lösungen der Gleichung x3 + y3 = z3.
in kanonischer Weise ...	auf eine dem Autor selbstverständlich erscheinende Art und Weise. [Wann diese Sprechweise benutzt werden darf, kann dieser einfache Sprachkurs noch nicht erklären.]
Vermöge ...	Hmm, tja, ... dito Beispiel: Vermöge der natürlichen Inklusionsabbildung wird das Diagramm kommutativ.