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Der Beweis von Euler
Der Beweis von Euler Als ersten wollen wir uns Beweis von Euler ansehen. Er findet sich in [3]. Euler beweist Satz 5 in vier Schritten: \big\ Schritt 1: Wenn eine darstellbare Zahl durch eine darstellbare Primzahl teilbar ist, so ist der Quotient darstellbar. \stress\ Beweis: Angenommen, a^2+b^2 ist durch eine Primzahl p^2+q^2 \in \IP teilbar. Dann teilt p^2+q^2 den Ausdruck (pb-aq)\.(pb+aq) = p^2\.b^2 - a^2\.q^2 = p^2\.(a^2+b^2) - a^2\.(p^2+q^2). Da p^2+q^2 eine Primzahl ist, muss sie einen der beiden Faktoren teilen. Nehmen wir zuerst an, dass sie pb-aq teilt. Laut Satz 2 ist (a^2+b^2)\.(q^2+p^2) = (aq-bp)^2 + (ap+bq)^2, und daher muss p^2+q^2 die Zahl (ap+bq)^2 teilen. Daher gilt (a^2+b^2)/(p^2+q^2)=((aq-bp)/(p^2+q^2))^2+((ap+bq)/(p^2+q^2))^2, und wir haben wie gefordert den Quotienten als Summe von zwei Quadraten dargestellt. Der Fall, dass p^2+q^2 den Faktor pb+aq teilt, kann mit (a^2+b^2)(p^2+q^2) = (ap-bq)^2 + (aq+bp)^2 analog abgehandelt werden. \big\ Schritt 2: Wenn eine darstellbare Zahl durch eine nicht darstellbare Zahl teilbar ist, so hat der Quotient einen nicht darstellbaren Faktor. \stress\ Beweis: Angenommen, x ist ein Teiler von a^2+b^2, und der Quotient hat die Primfaktordarstellung p_1*p_2*...*p_n. Dann ist a^2+b^2=x*p_1*p_2*...*p_n. Falls jeder Faktor p_i darstellbar ist, können wir der Reihe nach durch p_1, p_2, ... dividieren, und nach Schritt 1 ist jeder Quotient und somit letztendlich x darstellbar. Laut Voraussetzung ist aber x nicht darstellbar, und daher gibt es ein p_i, das ebenfalls nicht darstellbar ist. \bigbox \big\ Schritt 3: Wenn a und b relativ prim sind, dann ist jeder Faktor von a^2+b^2 darstellbar. \stress\ Beweis: Sei x ein Faktor von a^2+b^2. Wir schreiben a und b in der Form a=mx\pm c bzw. b=nx\pm d. Dabei sind abs(c), abs(d)<=1/2\.abs(x). Wir erhalten a^2+b^2=m^2\.x^2\pm 2mxc+c^2+n^2\.x^2\pm 2nxd+d^2=Ax+(c^2+d^2). Daher muss c^2+d^2 durch x teilbar sein, und wir schreiben es als c^2+d^2=yx. Wenn c und d nicht relativ prim sind, kann der ggT(c,d) nicht x teilen \(ansonsten würde ggT(c,d) sowohl a als auch b teilen, welche laut Vorraussetzung teilerfremd sind\). Das Quadrat von g=ggT(c,d) teilt y, da es c^2+d^2 teilt, und wir erhalten e^2+f^2=zx mit e=c/g, f=d/g und z=y/g^2\.. Die Zahlen e und f sind relativ prim, und abs(z)<=1/2\.abs(x), denn zx=e^2+f^2<= c^2+d^2<= (x/2)^2+(x/2)^2=1/2 x^2. Nun kommen wir zum unendlichen Abstieg. Wenn x nicht darstellbar ist, dann hat nach Schritt 2 die Zahl z einen nicht darstellbaren Faktor w, welcher eine darstellbare Zahl teilt. Wir gelangen daher von einem nicht darstellbaren Teiler x einer darstellbaren Zahl zu einer betragsmäßig kleineren Zahl mit den selben Eigenschaften. Da ein unendlicher Abstieg nicht möglich ist, muss x darstellbar sein.\bigbox \big\ Schritt 4: \normal (Satz 5) Jede Primzahl der Form 4k+1 ist darstellbar. \stress\ Beweis: Wenn p die Form 4k+1 hat, so ist nach dem kleinen Satz von Fermat jede der Zahlen 1^4k, 2^4k, 3^4k, ..., (4k)^4k kongruent zu 1 modulo p. Die Differenzen 2^4k-1^4k, 3^4k-2^4k, ..., (4k)^4k-(4k-1)^4k sind daher kongruent 0 modulo p. Jede dieser Differenzen läßt sich aber als a^4k-b^4k=(a^2k+b^2k)(a^2k-b^2k) faktorisieren. Da p eine Primzahl ist, muss sie einen der beiden Faktoren teilen. Falls p den ersten Faktor teilt, so ist p nach Schritt 3 darstellbar \(a und b sind teilerfremd, da sie sich nur um eins unterscheiden\). Es genügt daher zu zeigen, dass p nicht immer den zweiten Faktor teilen kann. Falls p alle 4k-1 Zahlen 2^2k-1^2k, 3^2k-2^2k, ..., (4k)^2k-(4k-1)^2k teilt, so teilt p auch die 4k-2 Differenzen dieser Zahlen und die 4k-3 Differenzen der Differenzen usw. Nun sind die r\-ten Differenzen der Folge 1^r, 2^r,... alle gleich r! \(siehe Anhang\), daher sind die 2k\-ten Differenzen gleich 2k!, was sicher nicht durch p teilbar ist. Daher kann p nicht immer die zweiten Faktoren teilen und ist daher darstellbar. \bigbox
 
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