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Neuer Abschnitt in Der zwei Quadrate Satz von Fermat
Zwei Beweise eines wichtigen Hilfssatzes Nun beweisen wir ein etwas technisches Lemma, das wir später benötigen werden. Dank dieses Lemmas können wir die Beweise später sehr einfach halten und auf die Benutzung des Legendre-Symbols verzichten. \big\ Lemma$4__: Für Primzahlen der Form p=4k+1 hat die Gleichung s^2==-1 (mod p) zwei Lösungen s\in\ menge(1, 2, ..., p-1), für p=2 hat sie eine Lösung, und für Primzahlen der Form 4k+3 existiert keine Lösung. \stress\ Beweis: Für p=2 wähle s=1. Für ungerade p konstruieren wir eine Äquivalenzrelation auf der multiplikativen Gruppe \IF_p^\*. Wir identifizieren dafür jedes Element mit seinem additiven und multiplikativen Inversen in \IF_p^\*. Im Allgemeinen besteht eine Äquivalenzklasse also aus vier Elementen menge(x, -x, x^(-1), -x^(-1)), es könnten jedoch auch einige Elemente zusammenfallen. (i) x~=-x ist für ungerade p unmöglich. (ii) x~=x^(-1) ist gleichbedeutend mit x^2==1. Die beiden Lösungen x==1 und x==p-1 bilden eine Äquivalenzklasse menge(1, p-1) mit zwei Elementen. Diese Äquivalenzklasse tritt für jedes $p$ auf. (iii) x~=-x^(-1) ist gleichbedeutend mit x^2==-1. Diese Gleichung hat entweder keine Lösung oder zwei Lösungen x_0 und p-x_0, welche dann die Äquivalenzklasse menge(x_0, p-x_0) mit zwei Elementen bilden. Wir haben also die p-1 Elemente der multiplikativen Gruppe \IF_p^\* in Quadrupel eingeteilt, plus ein oder zwei Äquivalenzklassen der Größe zwei. Für p-1=4k+2 kann es nur eine solche geben, daher hat die Gleichung s^2==-1 keine Lösung. Für p-1=4k müssen beide Äquivalenzklassen auftreten, und daher hat s^2==-1 mindestens zwei Lösungen. \bigbox Für die entscheidende Stelle von Lemma 4 werden wir einen zweiten Beweis betrachten. Er verwendet die Tatsache, dass ein Polynom n-ten Grades maximal n Nullstellen besitzt. \stress\ Beweis: Nach dem kleinen Satz von Fermat hat das Polynom X^(p-1)-1 genau p-1 Nullstellen modulo p. Wir faktorisieren es als X^(p-1)-1=(X^((p-1)/2)-1)\.(X^((p-1)/2)+1). Da die linke Seite p-1 Nullstellen hat, hat jeder Faktor auf der rechten Seite (p-1)/2 Nullstellen. Daher hat die Gleichung (x^((p-1)/4))^2+1==0 (mod p) genau (p-1)/2 inkongruente Lösungen g_1, ..., g_((p-1)/2) modulo p. Setzen wir s=g_i^((p-1)/4) so folgt s^2==-1 (mod p). \bigbox Und nun kommen wir bereits zum Höhepunkt der Arbeit.
 
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