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Erste Schritte Da sich die weitere Arbeit mit der Darstellung von natürlichen Zahlen als Summe zweier Quadrate beschäftigen wird, definieren wir: \big\ Definition$1__: Eine natürliche Zahl n ist \big\ darstellbar\normal\ , wenn es a,b \in \IZ gibt mit n=a^2+b^2. Wir beginnen unsere Untersuchung mit einem Satz, der bereits dem indischen Mathematiker Brahmagupta (598-668) bekannt war und der in Europa erstmals von Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, veröffentlicht wurde. \big\ Satz$2__: Sind n und m darstellbar, so ist auch nm darstellbar. \stress\ Beweis: Sei n = a^2 + b^2 und m = c^2 + d^2. n und m sind als Determinante auffassbar (a,-b;b, a)(c,-d;d, c)=(ac-bd,-(ad+bc);ad+bc, ac-bd) und daraus ersehen wir nm = (a^2+b^2)\.(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\..\bigbox Anstatt die Determinanten zu benutzen, kann man auch beide Seiten ausmultiplizieren. Aufgrund von Satz 2 ist es naheliegend, sich bei der Untersuchung der Darstellbarkeit auf Primzahlen zu beschränken, da wir jede Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben können. Die Zahl 2=1²+1² ist selbstverständlich darstellbar. Alle anderen Primzahlen sind entweder von der Form 4k+1 oder von der Form 4k+3. Für die Primzahlen der Form 4k+3 gilt: \big\ Satz$3__: Keine Primzahl der Form 4k+3 ist darstellbar. \stress\ Beweis: Für das Quadrat einer geraden Zahl gilt (2k)^2=4k^2==0 (mod 4). Bei ungeraden Zahlen führt das auf (2k+1)^2=4k(k+1)+1==1 (mod 4). Daher ist die Summe von zwei Quadraten kongruent zu 0, 1 oder 2 (mod 4).\bigbox
 
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