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Beispiel mit IN
Vorbemerkungen: Aus der Kategorientheorie werden wir nur Grundbegriffe verwenden; ab Abschnitt 3 sollte man etwas über Limites wissen. 1. Natürliche Zahlen mal anders Anstatt gleich auf die Definition zu kommen, machen wir einen - hoffentlich motivierenden - Umweg über die Menge der natürlichen Zahlen. Oder genauer gesagt über das Tripel (\mathbb{N},0,S), wobei S : \mathbb{N} \to \mathbb{N} die Nachfolgerfunktion ist und 0 \in \mathbb{N} die Null. Das Rekursionsprinzip, mit dem man Folgen rekursiv definieren kann, besagt folgendes: Ist (X,a,R) ein Tripel, bestehend aus einer Menge X, einem Element a \in X ("Anfangswert") und einer Abbildung R : X \to X ("Rekursionsvorschrift"), so gibt es genau eine Abbildung f : \mathbb{N} \to X mit f(0)=a und f(S(n))=R(f(n)). Mit anderen Worten: (\mathbb{N},0,S) ist ein initiales Objekt in der Kategorie der obigen Tripel. Nebenbei bemerkt kann man aus dieser kategoriellen Charakterisierung der natürlichen Zahlen bereits alles Wesentliche darüber herleiten (und auch allgemeiner in Topoi, das Stichwort hierzu sind NNO). Man beachte, wie kurz und knackig sie im Gegensatz zu den Peano-Axiomen ist. Zum Beispiel lässt sich die vollständige Induktion so einsehen: Ist T \subseteq \mathbb{N} eine Teilmenge mit 0 \in T und S(T) \subseteq T, so gibt es genau einen Morphismus (\mathbb{N},S,0) \to (T,S|_T,0); die Komposition mit (T,S|_T,0) \to (\mathbb{N},S,0) ist dabei notwendigerweise die Identität. Also ist T \hookrightarrow \mathbb{N} surjektiv und T = \mathbb{N}. Die Rechenoperationen auf \mathbb{N} lassen sich natürlich rekursiv definieren, d.h. durch einfache Anwendung der universellen Eigenschaft - ebenso ihre Eigenschaften (Übung). Jedenfalls lassen sich die Tripel alternativ als Mengen X zusammen mit einer Abbildung 1+X \to X beschreiben; hierbei ist 1 die Einpunktmenge (terminales Objekt) und + ist die disjunkte Vereinigung (Koprodukt). Ein Morphismus von Tripeln ist ein kommutatives Diagramm. Wir haben es hier also offenbar mit dem Funktor F : (\mathrm{Set}) \to (\mathrm{Set}), X \mapsto 1+X zu tun. Beobachte, dass die Strukturabbildung 1+\mathbb{N} \to \mathbb{N} ein Isomorphismus ist, unser initiales Objekt also ein "Fixpunkt" des Funktors ist. Und wenn wir ganz naiv eine Fixpunktiteration mit \emptyset \in (\mathrm{Set}) starten, so erhalten wir \emptyset, 1+\emptyset=1, 1+1=2, 1+2=3, \dotsc und im "Grenzwert" dann \mathbb{N}. Wir werden gleich sehen, dass das kein Zufall ist.
 
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