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Integrale mit Verknüpfungen von sin und cos-Funktionen lösen.

1. Analysis 1.1. Integrale mit Verknüpfungen von sin und cos-Funktionen lösen Motivation: Möchte man die Stammfunktion von einer Funktion bestimmen, die sich aus Produkten, Quotienten und Summen von sin(x) - und cos(x) - Funktionen darstellen lässt, so existiert dafür ein allgemeines Verfahren. Man kann damit das Problem der Integration solcher Funktionen auf das Problem der Integration von rationalen Funktionen zurückführen. Methode: Es sei f: U->\IC eine Funktion, wobei f(x) aus endlich vielen Quotienten, Produkten und\/oder Summen von sin(x) und cos(x) besteht. Der reelle Definitionsbereich U sei dabei geeignet gewählt. Es gilt: sin(x)=(2*tan(x/2))/(1+tan^2(x/2)) und cos(x)=(1-tan^2(x/2))/(1+tan^2(x/2)) und (tan(x/2))'=1/2*(1+tan^2(x/2)) Nun sind wir in der Lage, f(x) als Verkettung von tan(x/2) und einer geeigneten rationalen Funktion u(x) zu schreiben. Nun können wir eine Stammfunktion zu f berechnen: int(f(x),x)=int(u(tan(x/2)),x)=int(u(tan(x/2))*(tan(x/2))'/(1/2*(1+tan^2(x/2))),x) =int(u(v)/(1/2*(1+v^2)),v) (Substitution mit v=tan(x/2)) Dabei ist u(v)/(1/2*(1+v^2)) eine rationale Funktion. Beispiel: int(1/sin(x),x)=int((1+tan^2(x/2))/(2*tan(x/2)),x) =int((1+tan^2(x/2))/(2*tan(x/2)*1/2*(1+tan^2(x/2)))*(tan(x/2))',x) =int((1+v^2)/(v*(1+v^2)),v)=int(1/v,v)=ln|\abs(v)=ln|\abs(tan(x/2))
 
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