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1.2. Partialbruchzerlegung Motivation: Das Verfahren der Partialbruchzerlegung findet seine Anwendung bei der Integration rationaler Funktionen . Vielen ist das Verfahren schon aus der Schule bekannt: man berechnet, wenn möglich, die Nullstellen des normierten Nennerpolynoms und zerlegt den ganzen Bruch in Summen von Brüchen, wobei die jeweiligen Nennerpolynome Linearfaktoren des ursprünglichen Nennerpolynoms sind. Als nächsten Schritt bringt man die Brüche auf einem Nenner und löst ein Gleichungssystem durch Koeffizientenvergleich. Ich werde euch ein Verfahren vorstellen, mit dem man Terme wie (x+7)/((x+1)(x+2)(x+3)) ohne Mühe in 5 Sekunden im Kopf zerlegen kann. Methode: Es sei f(x)=p(x)/q(x) mit p,q Polynomfunktionen und \b_1, ..., \b_n \el\IC und t_1, ..., t_n \el\IN^\* derart, dass q(x)=\produkt((x-\b_i)^t_i,i=1,n) gilt. Nach der PBZ existieren a_ij\el\IC, so dass f(x)=sum(sum(a_ij/(x-\b_i)^j,j=1,t_i),i=1,n) ist. Nun das Wesentliche: wir können sehr viele a_ij direkt berechen! Es gilt: a_it_i = p(\b_i)/g(\b_i) mit q(x)=g(x)(x-\b_i)^t_i und g(\b_i)!=0 Anmerkung: Der Ansatz zum Beweis ist, dass man p(x)/q(x)-a_it_i/(x-\b_i)^t_i=(p(x)-a_it_i*g(x))/q(x):=A im Zähler (wenn er ungleich 0 ist) ein x-\b_i abspalten kann. Um die restlichen a_ij zu berechnen, muss man wieder eine PBZ mit A durchführen, usw. bis man fertig ist. In sehr vielen Beispielen jedoch sind die Vielfachheiten der Nullstellen nicht größer als 1. Beispiel: Nehmen wir gleich mal das Beispiel von oben. Wir suchen also a,b,c\el\IC mit: (x+7)/((x+1)(x+2)(x+3))=a/(x+1)+b/(x+2)+c/(x+3) Nach dem oben gesagtem gilt: a:=(-1+7)/((-1+2)(-1+3))=3 b:=(-2+7)/((-2+1)(-2+3))=-5 c:=(-3+7)/((-3+1)(-3+2))=2
 
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