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Beweis

5. Der Beweis

\ Eine beliebige natürliche Zahl n, aus den Ziffern a, b, c bestehend, lässt sich auch schreiben als \ll(1) n = 100*a + 10*b + 1*c Wenn man von dieser Zahl eine Zahl k abzieht, die aus den gleichen Ziffern zusammengesetzt ist, deren Reihenfolge aber beliebig vertauscht ist, kann man die neue Zahl als \ll(2) k = 100*b+10*a+1*c schreiben. Zieht man nun k von n ab, so folgt aus \ref(1) und \ref(2) n - k = (100*a + 10*b + 1*c) - (100*b+10*a+1*c) \ll(3) n - k = (100-10)*a + (10-100)*b + (1-1)*c In \ref(3) sind aber die Klammern stets durch 9 teilbar, egal wie man die Zusammensetzung der Zahl k aus den Ziffern a, b, c wählt. Dass dieses Prinzip nicht nur auf dreistellige Zahlen beschränkt ist, ist leicht einzusehen. Wenn nun aus dieser Differenz eine Ziffer entfernt wird, wird die dadurch erhaltene Zahl nicht mehr durch 9 teilbar sein. Die Zahl, die von der Modulodivision auf die 9 fehlt, ist die entfernte Zahl.
 
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