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Vorbereitendes

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Der Satz von Burnside ist sehr speziell und dreht sich um nilpotente Gruppen. Daher ist es sehr wichtig zu wissen, was nilpotente und Sylow-Gruppen sind und wie Kommutatoren funktionieren. Siehe dazu Gruppenzwang VI und Gruppenzwang V. Im Satz selber tauchen die so genannten Zentralreihen auf: makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) Eine endliche Folge von Untergruppen \IG=\IG_0>=\IG_1>=...>=\IG_n={1} wird \darkblue\ Zentralreihe__\black genannt, wenn sie diese beiden äquivalenten Bedingungen erfüllt. (i\el{1,2,...,n}): \darkred\IG|>\IG_i $\and$ faktor(\IG_(i-1),\IG_i)\subseteq\ Z(faktor(\IG,\IG_i)) $ $ <=> $ $ komm(\IG,\IG_(i-1))\subseteq\IG_i makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) makro(erz,\<\.%{*}\.\>) \blue\ Beweis der Äquivalenz: faktor(\IG_(i-1),\IG_i)\subseteq\ Z(faktor(\IG,\IG_i) => \forall a\el\IG_(i-1), b\el\IG: a\IG_i*b\IG_i=b\IG_i*a\IG_i => \forall a\el\IG_(i-1), b\el\IG: komm(a,b)\IG_i=\IG_i => komm(\IG,\IG_(i-1))\subseteq\IG_i Aus komm(\IG,\IG_(i-1))<=\IG_i<=\IG_(i-1) folgt \IG|>\IG_i für alle i, denn es gilt für zwei Untergruppen A und B: komm(A,B)<=A <=> $ erz(komm(a,b) \| a\el\ A, b\el\ B)\subseteq\ A <=> $ \forall a\el\ A, b\el\ B: komm(a,b)=aba^(-1)\.b^(-1)\el\ A <=> $ \forall a\el\ A, b\el\ B: bab^(-1) \el\ A <=> $ \forall b\el\ B: b\el\calN(A) <=> $ B<=\calN(A) Deshalb sind alle obigen Implikationspfeile auch umkehrbar, da hierdurch faktor(\IG,\IG_i) ja als Gruppe erst wohldefiniert wird. \blue\ q.e.d. \small\ Anmerkung: Die Äquivalenz komm(A,B)<=A <=> B<=\calN(A) steckt in einigen der folgenden Überlegungen implizit mit drin und ist auch sonst ganz nützlich, wenn man sie kennt. makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) In Gruppenzwang VI wurde bereits die array(\darkblue\ aufsteigende Zentralreihe)__ \black\ durch Z_0={1} und faktor(Z_(n+1),Z_n)=Z(faktor(\IG,Z_n)) definiert. Ebenfalls wichtig ist die durch K_0=\IG und K_(n+1)=komm(\IG,K_n) definierte array(\darkblue\ absteigende Zentralreihe)__ \black\ .
 
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