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Vorschau:
Euler

Euler und die Polyederformel

Eines der wichtigsten Ergebnisse zur Lösung des Vier-Farben Problems hat Euler beigesteuert und dies obwohl das Problem damals noch gar nicht entdeckt war. Es ist der Polyedersatz, den Euler 1750 in einem Brief an Goldbach erwähnt hat. Den Satz soll allerdings auch schon Descartes gefunden haben. Demnach besteht die Beziehung: |E|-|K|+|F|=2 E bezeichnet die Ecken, K die Kanten und F die Flächen des Polyeders. Um die Formel etwas konkreter werden zu lassen, kann man sich zum Beispiel einen Würfel denken. Dieser hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen. Bei diesen platonischen Körpern ist der Satz schnell überprüft. Ein etwas komplizierteres Polyeder; ein Dodekaeder, bei dem die Ecken abgeschliffen sind zeigt das folgende Bild:
Polyeder Beim Zählen der Ecken und Kanten muss man hier schon gut aufpassen. Das Wort Polyeder ist etwas missverständlich. Man kann sich nicht konvexe Polyeder vorstellen, für die der Satz nicht gilt. Dazu nimmt man zum Beispiel ein beliebiges Polyeder und schneidet in einer Fläche ein Stück heraus.
Nicht konvexes Polyeder Bei diesem Körper funktioniert die Formel nicht. Um dies zu sehen stellen wir das räumliche Polyeder in der Ebene dar: \begin{tikzpicture}[scale=0.8, >=latex] \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (10,0); \coordinate (C) at (10,8); \coordinate (D) at (0,8); \coordinate (A1) at (1,1); \coordinate (B1) at (9,1); \coordinate (C1) at (9,7); \coordinate (D1) at (1,7); \coordinate (A2) at (2,2); \coordinate (B2) at (8,2); \coordinate (C2) at (8,6); \coordinate (D2) at (2,6); \coordinate (A3) at (3,3); \coordinate (B3) at (7,3); \coordinate (C3) at (7,5); \coordinate (D3) at (3,5); \draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle; \draw[thick] (A1)--(B1)--(C1)--(D1)--cycle; \draw[thick] (A2)--(B2)--(C2)--(D2)--cycle; \draw[thick] (A3)--(B3)--(C3)--(D3)--cycle; \draw[thick] (A)--(A1); \draw[thick] (B)--(B1); \draw[thick] (C)--(C1); \draw[thick] (D)--(D1); \draw[thick] (A2)--(A3); \draw[thick] (B2)--(B3); \draw[thick] (C2)--(C3); \draw[thick] (D2)--(D3); \draw[dashed] (C1)--(C2); %\draw[->, thick] (O) -- (C) node[near start, above, sloped]{$\vec{a} + \vec{b}$}; %\draw[->, thick] (A) -- (B) node[near start, above, sloped]{$\vec{b} - \vec{a}$}; %\draw[densely dashed] (C) -- (B) node[midway, right]{$$}; %\draw[thin] (O) -- (A1) node[midway, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] (0,0) node[]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] (10,0) node[]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] (10,8) node[]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] (0,8) node[]{$$}; %\draw (0,0)--(10,0)--(10,8)--(0,8)--cycle; \end{tikzpicture} Nicht konvexes Polyeder, ebene Darstellung Obige geplättete Figur (ohne die gestrichelte Kante) hat 16 Ecken, 24 Kanten und 11 Flächen. Bei den Flächen ist zu berücksichtigen, dass die Bodenfläche des Polyeders zur Aussenfläche in der Ebene wird, also die entstandene Figur umschliesst. Dies führt zu einem ersten Kriterium um die Polyederformel anzuwenden: Die Aussenfläche des ebenen Graphen wird mitgezählt Wenden wir nun den Polyedersatz an: 16-24+11=3 Das ist offensichtlich falsch. Fügt man aber die gestrichelte Kante ein, so ergibt sich als Summe 2, wie vom Polyedersatz vorausgesagt. Diese Beobachtung führt zu einem weiteren Kriterium: Der Graph muss zusammenhängend sein

Beweisskizze

Um den Polyedersatz zu beweisen kann man mit einem einfachen Graphen beginnen und ihn induktiv erweitern. Da der Graph zusammenhängend sein muss, kann man einer Ecke eine Kante mit Endecke anfügen. Dies verändert die Bilanz nicht. Man kann sich nun leicht überlegen, was passiert, wenn man einen Kreis schliesst. Damit hat man bereits die zwei Möglichkeiten untersucht mit denen sich ein ebener Graph erweitern lässt und damit ist die Polyederformel verifiziert. \begin{tikzpicture}[scale=0.8, >=latex] \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (-2,2); \coordinate (C) at (2,2); \coordinate (D) at (3,4); \coordinate (E) at (5,1); \coordinate (F) at (4,0); \draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle; \draw[thick] (C)--(D)--(E)--(F); \draw[dashed] (F)--(C); %\draw[->, thick] (O) -- (C) node[near start, above, sloped]{$\vec{a} + \vec{b}$}; %\draw[->, thick] (A) -- (B) node[near start, above, sloped]{$\vec{b} - \vec{a}$}; %\draw[densely dashed] (C) -- (B) node[midway, right]{$$}; %\draw[thin] (O) -- (A1) node[midway, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] (0,0) node[]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] (10,0) node[]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] (10,8) node[]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] (0,8) node[]{$$}; %\draw (0,0)--(10,0)--(10,8)--(0,8)--cycle; \end{tikzpicture} Zum Beweis der eulerschen Formel Im dritten Link unten gibt es eine ganze Liste von weiteren Beweisen:

Links

Zum Polyedersatz von trunx Polyedersatz (D) Beweise (E)
 
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