Bearbeiten von: Abschnitt [Änderungshistorie]
  Zeilenumbrüche automatisch mache ich selbst mit HTML    

Ich möchte eine Mail an , nachdem mein Vorschlag bearbeitet ist.
  Nachricht zur Änderung:

Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
[Link zurück zum Artikelabschnitt]

Vorschau:
Vorbereitungen

2. Vorbereitungen

Bevor wir zum Divisionssatz kommen, sind einige Vorbetrachtungen nötig, ohne die es nicht geht. Ich versuche mich hier allerdings so kurz wie möglich zu fassen, obwohl die einzelnen Vorbereitungen eigene Artikel verdient hätten.

2.1 Termordnungen

Zunächst brauchen wir eine Struktur auf den Elementen unseres Polynomrings, um unter 2.2 einige wichtige Begriffe definieren zu können. Und zwar brauchen wir auf den Monomen in \IK\[x_1 , ... , x_n ] eine Ordnungsrelation <=. Für den Fall einer Unbestimmten ordnen wir die Monome eines Polynoms kanonisch nach dem Grad, also wäre x^5 array(<=)_k x^6 und x array(<=)_k x^2, wobei das k hier für "kanonisch" steht. Im Fall mehrerer Unbestimmte ist diese Ordnungsrelation jedoch nicht mehr ausreichend, was auf den Begriff der Termordnung__, array(monomialer Ordnung)__ oder Monomordnung__ führt. \boxon \stress\(Definition)\normal\ Monomordnung__: Eine Monomordnung auf \IK\[x_1 , .. , x_n ] ist eine Relation > auf \IN^n mit folgenden Eigenschaften: \stress\(M1)\normal\ > ist eine Totalordnung auf \IN^n \stress\(M2)\normal\ Falls \a>\b und \g\el\IN^n, dann ist \a+\g>\b+\g \boxoff Ohne Beweis möchte ich nun das folgende Lemma angeben, das später beim Beweis des Divisionssatzes benötigt wird: \stress\(Lemma 1)\normal\: Eine Totalordnung > auf \IN^n ist genau dann eine Wohlordnung, wenn jede streng absteigende Folge in \IN^n \a(1)>\a(2)>...> stationär wird, also abbricht. Ich möchte hier nur 2 Beispiele für Monomordnungen angeben, da dies doch eher technisch ist und nicht wirklich dem Verständnis dient.
Beispiele für Termordnungen
Eine wohl intuitiv klare Monomordnung ist die array(lexikographische Ordnung)__: \stress\(Definition)\normal\ lexikographische Ordnung: Sei \a=(\a_1 , ... , \a_n ) und \b=(\b_1 , ... , \b_n )\el\IN^n. Dann ist \a array(>)_lex \b, falls der erste von Null verschiedene Eintrag der Differenz \a-\b positiv ist. Beispiel:__ (1,2,0) array(>)_lex (0,3,4) da \a-\b=(1,-1,-4) Die lexikopgraphische Ordnung ist das Analogon für die alphabetische Ordnung, d.h. Wörter, die mit x anfangen, kommen vor Wörtern, die mit y beginnen, und so weiter. Wer Lust hat, kann gerne zeigen, daß die eben definierte Ordnung eine Monomordnung ist, ich werde dies hier nicht machen. Die lexikographische Ordnung kann man zur array(graduiert lexikographische Ordnung)__ verfeinern: \stress\(Definition)\normal\ graduiert lexikographische Ordnung: Sei \a, \b\el\IN^n. Wir sagen \a array(>)_deglex \b falls abs(\a)=sum(\a_k,k=1,n) > abs(\b)=sum(\b_k,k=1,n), oder abs(\a)=abs(\b) und \a array(>)_lex \b. Das heißt nichts anderes, als daß geguckt wird, bei welchem Monom die Summe der Exponenten am größten ist. Gibt es 2 Monome, der Exponentensumme gleich ist, wird als 2. Vergleichskriterium die zuvor definierte lexikographische Ordnung als Entscheidungshilfe genommen. Es gibt natürlich noch die verschiedensten Monomordnungen. Genannt seien hier nur noch die gewichteten Gradordnungen, invers-lexikographische Ordnungen, Blockordnungen und die Matrixordnungen. Es ist möglich, eine Unterscheidung zwischen diesen Ordnungen zu machen, und zwar klassifiziert man die Ordnungen noch in "globale Ordnungen", "gemischte Ordnungen" und "lokale Ordnungen". Das hängt jeweils davon ab, ob die 1 (oder allgemein ein konstantes Monom) als größtes oder kleinstes Monom bezüglich dieser Ordnung angesehen wird. Ich betrachte hier allerdings nur globale Ordnungen, da nur bei diesen der Divisionssatz funktioniert.

2.2 Einige Definitionen

Ich will hier einige Schreibweisen definieren, welche das ganze etwas übersichtlicher halten sollen. \stress\(D1)\normal\ Für den Polynomring \IK\[x_1 , ... , x_n ] schreibe ich abkürzend \IK_n. \stress\(D2)\normal\ Ein Monom der Form (x_1)^\a_1* ... * (x_n)^\a_n ist kurz X^\a, wobei \a dann der Exponentenvektor ist, also \a=(\a_1 , ... , \a_n) \stress\(D3)\normal\ Der Leitterm__ eines Polynoms f ist das bezüglich einer Monomordnung > größte Monom. Kurzschreibweise: lt(f) \stress\(D4)\normal\ Der Leitkoeffizient__ ist der Koeffizient des Leittermes eines Polynoms f und wird geschrieben als lc(f) \stress\(D5)\normal\ Der Exponentvektor eines Monoms sei bezeichnet mit lp(m)
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]