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Neuer Abschnitt in Mehrfachintegrale
Wir gehen stets davon aus, dass f auf R stetig ist. Wir zerlegen zuerst [a,b] in Z_1=menge(x_0, x_1, ..., x_m) und [c,d] in Z_2=menge(y_0, y_1, ..., y_n). Dann ist die Zerlegung Z=Z_1 x Z_2=menge((x_i ,y_i)|x_i \el\Z_1 ,y_i \el\Z_2) eine Zerlegung des Rechtecks R. Z besteht aus allen Gitterpunkten (x_i, y_i) und unterteilt R in m mal n nichtüberlappende Rechtecke R_ij: x_(i-1)<=x<=x_i und y_(i-1)<=y<=y_i Bild Da R beschränkt und abgeschlossen ist und damit auch alle R_ij und f stetig ist, nimmt f auf jedem R_ij ein Maximum und ein Minimum an. Sei M_ij das Maximum auf R_ij und m_ij das Minimum auf R_ij. Die folgende Zeichnung macht dies klar Bild Sei V_ij das Volumen von f über R_ij und die Fläche von R_ij ist A_ij=(x_i-x_(i-1))*(y_j-y_(j-1))=\Delta x_i *\Delta y_j. Dann ist m_ij*A_ij<=V_ij<=M_ij*A_ij BildBild Das Gesamtvolumen von f über R ist V=sum(sum(V_ij,j=1,n),i=1,m) Als Untersumme von V erhalten wir U_f=sum(sum(m_ij*\Delta x_i *\Delta y_j,j=1,n),i=1,m) und als Obersumme O_f=sum(sum(M_ij*\Delta x_i *\Delta y_j,j=1,n),i=1,m) Es gilt also für alle Zerlegungen von R die Ungleichung U_f<=V<=O_f Dieses V ist nun das Doppelintegral int(int(f(x,y),x,R),y).
 
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