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Beispiele

3. Beispiele

Zum Abschluss dieses Artikels betrachten wir noch ein paar Beispiele die zeigen, wie Rechnungen im Zusammenhang mit der Normalverteilung durch die Betrachtung geeigneter Matrizen wesentlich vereinfacht werden können. Konkret geht es um die (nichtzentrale) \chi^2-Verteilung, die t-Verteilung und die Verteilung der im t-Test auftauchenden Statistik.
3.1 Definition: (nichtzentrale) \chi^2- und t-Verteilung
Es seien X_1, X_2, \ldots unabhängige Zufallsvariablen mit X_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, 1). Die Verteilung der Zufallsvariable
S = \sum \limits_{i = 1}^n X_i^2
nennt man nichtzentrale \chi^2-Verteilung mit n Freiheitsgraden und Nichtzentralitätsparameter \delta^2 = \sum \limits_{i = 1}^n \mu_i^2. Man verwendet hierbei die Schreibweise
\displaystyle S \sim \chi^2_{n, \delta^2}
Im Spezialfall \delta^2 = 0 nennt man die Verteilung \chi^2-Verteilung mit n Freiheitsgraden und schreibt verkürzend
S \sim \chi^2_n

Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig mit X \sim \mathcal{N}(0, 1) und Y \sim \chi^2_n, so nennt man die Verteilung der Zufallsvariable
\displaystyle T = \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}
t-Verteilung mit n Freiheitsgraden.
Man muss sich hierbei klarmachen, dass die Verteilung von S lediglich von dem Parametern n und \delta^2 abhängt, nicht von den Werten der \mu_i selbst. Für \delta^2 = 0 ist dies klar, da dieser Fall nur eintritt wenn \mu_i = 0 für i = 1, ..., n gilt.
Im Fall \delta^2 \ne 0 betrachte man die Vektoren
X = (X_1, \ldots, X_n)^t \qquad \mu = (\mu_1, \ldots, \mu_n)^t \ne 0
Man erweitere \mu zu einer Orthonormalbasis \frac{\mu}{||\mu||}, y_2, \ldots, y_n des \mathbb{R}^n und betrachte die orthogonale Matrix
\displaystsyle M = \left(\frac{\mu}{||\mu||}, y_2, \ldots, y_n\right)
Damit gilt:
S = X^tX = X^t M^t M X = ||MX||^2
Nun ist MX ein n-dimensional normalverteilter Zufallsvektor mit Erwartungswert M\mu = (||\mu||, 0, \ldots, 0) und Kovarianzmatrix M^t I_n M = I_n. Daraus ist ersichtlich, dass die Verteilung nur von den Parametern n und ||\mu||^2 = \delta^2 abhängt.

Die nichtzentrale \chi^2-Verteilung tritt im Zusammenhang mit linearen Modellen in der Statistik auf. Speziell ist hierfür das folgende Lemma wichtig:
3.2 Lemma:
Es sei X\sim \mathcal{N}(\mu, I_n) n-dimensional normalverteilt und die Matrix P \in \mathbb{R}^{n \times n} symmetrisch und idempotent. Dann gilt
\displaystyle S := X^tPX \sim \chi^2_{r, \delta^2}
wobei r = \operatorname{spur}(P) und \delta^2 = \mu^t P\mu.
Beweis: Da P symmetrisch ist, lässt sich die Matrix orthogonal diagonalisieren. Aufgrund der Idempotenz sind die einzigen Eigenwerte 0 und 1. Das bedeutet es gibt eine orthogonale Matrix M für die P = M^t D M gilt, wobei D die Blockmatrix
\begin{pmatrix}I_k & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}
ist. Da die Spur einer Matrix invariant unter Ähnlichkeitstransformationen ist, gilt k = \operatorname{spur}(P). Die Zufallsvariable Y = MX ist n-dimensional normalverteilt mit Erwartungswert M\mu und Kovarianzmatrix M^t I_n M = I_n. Daraus folgt
\displaystyle S = X^tPX = X^tP^2X = (MX)^tD(MX) = (DY)^t(DY) = \sum \limits_{i = 1}^r Y_i^2 \sim \chi^2_{r, \delta^2}
wobei
\delta^2 = \sum \limits_{i = 1}^r\left(\mathbb{E}[Y_i]\right)^2 = \sum \limits_{i = 1}^r (M\mu)_i^2 = ||DM\mu||^2 = \mu^t P \mu


Wir besitzen nun alle Hilfsmittel um die Verteilung der Statistik im t-Test zu bestimmen.
3.3 Satz: t-Test
Es seien X_1, \ldots, X_n i.i.d. normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert \mu und Varianz \sigma^2 > 0. Man definiere den zu diesen Zufallsvariablen gehörenden Mittelwert und die empirische Varianz als
\overline{X} = \frac{1}{n} \sum \limits_{i = 1}^n X_n
S = \frac{1}{n - 1} \sum \limits_{i = 1}^n \left(X_i - \overline{X} \right)^2
Dann ist die Statistik
T = \sqrt{n}\frac{\overline{X} - \mu}{\sqrt{S}}
t-verteilt mit (n - 1) Freiheitsgraden.
Beweis: Wegen
\displaystyle T = \frac{\sqrt{n}(\overline{X} - \mu)/\sigma}{\sqrt{S/\sigma^2}}
genügt es den Fall \sigma^2 = 1 zu betrachten. Die Behauptung folgt nun aus drei Teilaussagen:
  1. \sqrt{n}(\overline{X} - \mu) \sim \mathcal{N}(0, 1)
  2. (n - 1)S \sim \chi^2_{n - 1}
  3. \overline{X} und S sind unabhängig
1) Als Linearkombination unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ist \overline{X} ebenfalls normalverteilt. Die Aussage folgt damit aus einer einfachen Berechnung des Erwartungswertes und der Varianz der betrachteten Zufallsvariable.

2) Setze X = (X_1, \ldots, X_n)^t und
M = \begin{pmatrix} 1 - \tfrac{1}{n} & -\tfrac{1}{n} & \cdots & -\tfrac{1}{n} \\ -\tfrac{1}{n} & 1 - \tfrac{1}{n} & \cdots & -\tfrac{1}{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\tfrac{1}{n} & \cdots & \cdots & 1 -\tfrac{1}{n} \end{pmatrix}
Die Matrix M - I_n besteht nur aus identischen Zeilen, womit 1 ein Eigenwert von M mit Vielfachheit (n - 1) ist. Außerdem ist 0 ein Eigenwert zum Eigenvektor (1, \ldots, 1)^t und besitzt eine Vielfachheit von 1. Aufgrund der Symmetrie von M gibt es eine orthogonale Matrix V mit M = V^tDV, wobei D durch die Blockmatrix
D = \begin{pmatrix} I_{n - 1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
gegeben ist. Daraus folgt M^2 = V^t D^2 V = V^tDV = M. Wegen
(n - 1) S = \sum \limits_{i = 1}^n (X_i - \overline{X})^2 = ||MX||^2 = X^tMX
folgt die Behauptung gemeinsam mit \operatorname{spur}(M) = n - 1 und (\mu, \ldots, \mu)M (\mu, \ldots, \mu)^t = 0 aus Lemma 3.2.

3) Mit der Wahl N = \frac{1}{n}(1, \ldots, 1) \in \mathbb{R}^{1 \times n} folgt \overline{X} = NX. Wegen N I_n M = 0 sind die Zufallsvariablen NX, MX gemäß Lemma 2.7 unabhängig. Die Aussage folgt nun aus der Gleichung S = \tfrac{1}{n - 1} ||MX||^2.

 
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