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Neuer Abschnitt in Mehrfachintegrale
Wie berechnet man nun int(int(f(x,y),x,\Omega),y) wenn \Omega kein Rechteck mehr ist, sondern eine andere Form hat wie hier Bild Was ist, wenn dieser Grundbereich ein Gebirge darstellt und dessen Querschnitte ungefähr wie folgt aussehen Bild Bild Sei nun \Omega unser Grundbereich und f(x,y) gibt uns in den Punkten x,y \el\ \Omega die Höhe des Gebirges an oder vielleicht die Tiefe eines Sees oder die Massendichte einer Platte, die die Form von \Omega hat. Unser Ziel ist es, mit unserem Doppelintegral int(int(f(x,y),x,\Omega),y) das Volumen des Sees bzw. Gebirges oder die Gesamtmasse der Platte zu berechnen. Der Grundbereich soll nun die Form wie unten haben und f darauf stetig sein Bild \Omega wird links und rechts von x=a und x=b begrenzt und oben und unten von y=h(x) und y=g(x). Es soll gelten g(x)<=h(x) und a<=b. Zerlegen wir \Omega in ganz viele kleine, sich nicht überlappende Rechtecke. In dem eingezeichneten Streifen unten ist x fest und y variabel. Da die Breite des Streifens infinitesimal klein ist, können wir annehmen, dass die horizontalen Ränder dieses Streifens gerade sind, nichtsdestotroz läuft y von g(x) bis h(x), da zu unterschiedlichem x der Rand auch in der y Komponente woanders liegt. Schauen wir uns das Rechteck F an, das hat den Inhalt dx*dy. Die Belegung (Höhe, Massendichte etc.) auf diesem Rechteck ist f(x,y)*dx*dy Damit wir die Gesamtbelegung V_x (Volumen, Masse etc.) auf dem Vertikalstreifen erhalten, müssen wir f(x,y)*dx*dy nach y in den Grenzen g(x) bis h(x) integrieren. Damit erhalten wir für V_x=int(f(x,y),ydx,g(x),h(x)) Um nun die Gesamtbelegung auf ganz \Omega zu erhalten, müssen wir die einzelnen vertikalen Streifen zu jedem x von a bis b aufsummieren also V_x von a bis b nach x integrieren. Die Gesamtbelegung ist also V=int(int(f(x,y),x,\Omega),y)=int(V_x)=int(int(f(x,y),y,g(x),h(x)),x,a,b) Dabei kann V, wie gesagt, ein Volumen oder eine Masse oder etwas Anders darstellen. Der Fall, dass \Omega wie unten aussieht, also in der y Komponente von a bis b und in der x Komponente von g(y) bis h(y) begrenzt wird, läuft analog zu dem vorherigen. Hierbei wird zuerst die Belegung eines Horizontalstreifens berechnet und dann die Gesamtbelegung. Man erhält in diesem Fall V=int(int(f(x,y),x,\Omega),y)=int(int(f(x,y),x,g(y),h(y)),y,a,b) Bild
 
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