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Konvergenz

2. Konvergenz einer Spektralfolge

Wir arbeiten wie zuvor in einer festen abelschen Kategorie \mathcal{A}. Für Spektralfolgen gibt es verschiedene Konvergenzbegriffe. Allerdings sind diese Begriffe für Spektralfolgen im ersten Quadranten zueinander äquivalent und wir werden uns auf diesen Fall beschränken. Definition. Es sei \mathcal{S}=((E_r,d_r)_{r \geq r_0},(\sigma_r)_{r \geq r_0}) eine kohomologische Spektralfolge im ersten Quadranten. Es sei außerdem H=(H^n)_{n \in \mathds{N}} ein graduiertes Objekt, d.h. eine Folge von Objekten H^0,H^1,H^2,\dotsc. Ein Konvergenzdatum \mathcal{S} \Rightarrow H besteht aus den folgenden Daten: • einer Folge von Unterobjekten 0 = H_{n+1}^n \subseteq H_n^n \subseteq \dotsc \subseteq H_1^n \subseteq H_0^n = H^n für alle n \in \mathds{N}, • Isomorphismen \rho_{p,q} : H^{p+q}_p / H^{p+q}_{p+1} \xrightarrow{\cong} E_{\infty}^{p,q} für alle p,q \in \mathds{N}. Diese Daten zusammengenommen nennt man eine konvergente kohomologische Spektralfolge. Man schreibt dafür oftmals (stark) abkürzend E_{r_0}^{p,q} \Rightarrow H^{p+q}. Wir schöpfen den Grenzwert H^n also mit Unterobjekten aus, deren sukzessive Quotienten gerade durch den E_\infty-Term der Spektralfolge gegeben sind; dabei kommen genau die Objekte E_{\infty}^{p,q} vom Totalgrad p+q=n ins Spiel. Das Ziel einer Spektralfolge ist oftmals, damit den Grenzwert möglicht gut auszurechnen; oder aber genau anders herum, aus dem Grenzwert etwas über den E_2-Term etwa herauszufinden. \begin{tikzpicture}[scale=1.4] \draw[step=1.0,lightgray!30,thin] (-0.5,-0.5) grid (3.5,3.5); \draw node at (0,0) {$E_{\infty}^{0,0}$}; \draw node at (1,0) {$E_{\infty}^{1,0}$}; \draw node at (2,0) {$E_{\infty}^{2,0}$}; \draw node at (3,0) {$E_{\infty}^{3,0}$}; \draw node at (0,1) {$E_{\infty}^{0,1}$}; \draw node at (1,1) {$E_{\infty}^{1,1}$}; \draw node at (2,1) {$E_{\infty}^{2,1}$}; \draw node at (3,1) {$E_{\infty}^{3,1}$}; \draw node at (0,2) {$E_{\infty}^{0,2}$}; \draw node at (1,2) {$E_{\infty}^{1,2}$}; \draw node at (2,2) {$E_{\infty}^{2,2}$}; \draw node at (3,2) {$E_{\infty}^{3,2}$}; \draw node at (0,3) {$E_{\infty}^{0,3}$}; \draw node at (1,3) {$E_{\infty}^{1,3}$}; \draw node at (2,3) {$E_{\infty}^{2,3}$}; \draw node at (3,3) {$E_{\infty}^{3,3}$}; \draw [gray] (-0.5,1) to (0.5,0); \draw [gray] (-0.5,2) to (1.5,0); \draw [gray] (-0.5,3) to (2.5,0); \draw [gray] (0.0,3.5) to (3.5,0); \draw [gray] (1.0,3.5) to (3.5,1); \draw [gray] (2.0,3.5) to (3.5,2);\end{tikzpicture}\hspace{1cm} \begin{tikzpicture}[scale=1.4] \draw[step=1.0,lightgray!30,thin] (-0.5,-0.5) grid (3.5,3.5); \draw [gray] (-0.5,1) to (0.5,0); \draw [gray] (-0.5,2) to (1.5,0); \draw [gray] (-0.5,3) to (2.5,0); \draw [gray] (0.0,3.5) to (3.5,0); \draw [gray] (1.0,3.5) to (3.5,1); \draw [gray] (2.0,3.5) to (3.5,2); \draw node at (0,0) {$H^0$\,}; \draw node at (1,0) {$H^1_1$\,}; \draw node at (2,0) {$H^2_2$\,}; \draw node at (3,0) {$H^3_3$\,}; \draw node at (0,1) {$H^1/H^1_1$\,}; \draw node at (1,1) {$H^2_1/H^2_2$\,}; \draw node at (2,1) {$H^3_2/H^3_3$\,}; \draw node at (3,1) {$H^4_3/H^4_4$\,}; \draw node at (0,2) {$H^2/H^2_1$\,}; \draw node at (1,2) {$H^3_1/H^3_2$\,}; \draw node at (2,2) {$H^4_2/H^4_3$\,}; \draw node at (3,2) {$H^5_3/H^5_4$\,}; \draw node at (0,3) {$H^3/H^3_1$\,}; \draw node at (1,3) {$H^4_1/H^4_2$\,}; \draw node at (2,3) {$H^5_2/H^5_3$\,}; \draw node at (3,3) {$H^6_3/H^6_4$\,}; \end{tikzpicture} Zum Beispiel ist H^0 \cong E^{0,0}_{\infty} (bzw. allgemeiner H^n_n \cong E_{\infty}^{n,0}) und es gibt eine exakte Folge 0 \to E_{\infty}^{1,0} \to H^1 \to E_{\infty}^{0,1} \to 0, womit man etwa im Falle von Vektorräumen schon die Dimension von H^1 ablesen kann. Für H^2 können wir zunächst einmal nur sagen, dass es Unterobjekte 0 \subseteq H^2_2 \subseteq H^2_1 \subseteq H^2 gibt mit H^2_2 \cong E_{\infty}^{2,0} , H^2_1 / H^2_2 \cong E_{\infty}^{1,1} und H^2 / H^2_1 \cong E_{\infty}^{0,2}. Bemerkung. Konvergente kohomologische Spektralfolgen bilden ebenfalls eine Kategorie: Morphismen sind definiert als die Morphismen der zugrunde liegenden Spektralfolgen zusammen mit Morphismen der Grenzwerte, sodass zwei naheliegende Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind. Satz. Jede konvergente kohomologische Spektralfolge E_{2}^{p,q} \Rightarrow H^{p+q} liefert eine exakte Folge 0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0} \to H^2. Sie heißt die Fünf-Term-Folge. Beweis. Wir haben eine exakte Folge 0 \to E_{\infty}^{1,0} \to H^1 \to E_{\infty}^{0,1} \to 0. Offensichtlich gilt E_{\infty}^{1,0}=E_2^{1,0}. Außerdem gilt E_{\infty}^{0,1} = E_3^{0,1} = \ker(E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0}). Es gibt also eine exakte Folge 0 \to E_{\infty}^{0,1} \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0} \to E_2^{2,0} / \mathrm{im}(d_2) \to 0. Nun ist aber E_{\infty}^{2,0} = E_3^{2,0} = E_2^{2,0} / \mathrm{im}(d_2) und E_{\infty}^{2,0} \cong H^2_2 bettet sich in H^2 ein. Damit erhält man die exakte Folge 0 \to E_{\infty}^{0,1} \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0} \to H^2. In Kombination mit der zuerst genannten Folge folgt die Behauptung. \checkmark Bemerkung. Es sei E_2^{p,q} \Rightarrow H^{p+q} eine konvergente kohomologische Spektralfolge. Für p \neq 0,1 gelte E_2^{p,q}=0. Der E_2-Term beschränkt sich also auf den folgenden Streifen (alle anderen Objekte sind Null): \begin{tikzpicture} \draw[step=1.0,lightgray!60,thin] (-0.5,-0.5) grid (3.5,3.5); \draw node at (0,0) {$E_{2}^{0,0}$}; \draw node at (1,0) {$E_{2}^{1,0}$}; \draw node at (0,1) {$E_{2}^{0,1}$}; \draw node at (1,1) {$E_{2}^{1,1}$}; \draw node at (0,2) {$E_{2}^{0,2}$}; \draw node at (1,2) {$E_{2}^{1,2}$}; \draw node at (0,3) {$\vdots$}; \draw node at (1,3) {$\vdots$}; \end{tikzpicture} Sämtliche Differentiale sind hier und auch auf allen folgenden Seiten Null, weil sie ein Nullobjekt treffen. Daher gilt E_2^{pq} \cong E_3^{pq} \cong \dotsc \cong E_{\infty}^{pq}. Die Definition der Konvergenz liefert uns eine exakte Folge 0 \to E_{\infty}^{1,n-1} \to H^n \to E_{\infty}^{0,n} \to 0. Aufgabe. Es sei E_{2}^{p,q} \Rightarrow H^{p+q} eine konvergente kohomologische Spektralfolge. Für q \neq 0,1 gelte E_2^{p,q}=0. Konstruiere eine lange exakte Folge 0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d} E_2^{2,0} \to H^2 \to E_2^{1,1} \xrightarrow{d} E_2^{3,0} \to \dotsc. Aufgabe. Es sei E_{r_0}^{p,q} \Rightarrow H^{p+q} eine konvergente kohomologische Spektralfolge in \mathcal{A}=\mathsf{Vect}_K für einen Körper K. Zeige \dim_K(H^n)=\sum_{p=0}^{n} \dim_K(E_{\infty}^{p,n-p}).
 
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