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Serre

4. Serre-Spektralfolge

Es sei F \to X \to B eine Serre-Faserung (Wiki). Die Basis B sei der Einfachheit halber einfach-zusammenhängend. Dann gibt es eine konvergente kohomologische Spektralfolge im ersten Quadranten, die bei der zweiten Seite beginnt und dort durch E_2^{p,q} = H^p(B;H^q(F)) gegeben ist, also durch die singuläre Kohomologie der Basis mit Koeffizienten in der singulären Kohomologie der Faser. Der Grenzwert H^n=H^n(X) ist die singuläre Kohomologie des Totalraumes. Dies ist die Serre-Spektralfolge. Wir werden ihre Existenz hier nicht beweisen, sondern anhand eines Beispiels aufzeigen, wie man sie benutzen kann. Offenbar kann man mit der Serre-Spektralfolge theoretisch die Kohomologie des Totalraumes aus den Kohomologien der Basis und der Faser ausrechnen. Man kann aber auch umgekehrt vorgehen und die Kohomologie der Basis bestimmen. Im folgenden Beispiel wird auf diese Weise die Kohomologie des komplexen projektiven Raumes mit Hilfe der (als bekannt vorausgesetzten) Kohomologie von Sphären bestimmt. Sei n \geq 1. Betrachte S^n_{\mathds{C}} = \{x \in \mathds{C}^{n+1} : \lVert x \rVert = 1\} \cong S^{2n+1}. Die Projektion \pi : S^n_{\mathds{C}} \to \mathds{P}^n_{\mathds{C}} in den komplexen projektiven Raum ist eine Faserung mit Faser \cong S^1. In der Serre-Spektralfolge gilt daher E_2^{p,q} = H^p(\mathds{P}^n_{\mathds{C}};H^q(S^1)) und H^k = H^k(S^{2n+1}). Unsere erste Beobachtung lautet: Für q \neq 0,1 ist E_2^{p,q} = 0. Der E_2-Term konzentriert sich also auf den Streifen q \in \{0,1\} und sieht so aus: \begin{tikzpicture}[scale=1.6] \draw[step=1.0,lightgray!70,thin] (-0.3,-0.3) grid (4.3,1.3); \node (00) at (0,0) {$H^0(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (01) at (0,1) {$H^0(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (10) at (1,0) {$H^1(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (11) at (1,1) {$H^1(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (20) at (2,0) {$H^2(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (21) at (2,1) {$H^2(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (30) at (3,0) {$H^3(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (31) at (3,1) {$H^3(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (40) at (4,0) {$\cdots$}; \path [line width=0.55pt,>=stealth,->] (01) edge (20) (11) edge (30) (21) edge (40); \end{tikzpicture} Daraus folgt nun einerseits, dass der E_3-Term aus den Kernen bzw. Kokernen dieser Differentiale besteht und andererseits, dass dieser E_3-Term bereits der E_{\infty}-Term ist. Unsere nächste Beobachtung ist: Für k \neq 0,2n+1 gilt H^k=0. Das bedeutet: Für p+q \neq 0,2n+1 muss E_{\infty}^{p,q} = 0 sein. Das sagt uns aber gerade, dass das Differential d_2 : E_2^{p,1} \to E_2^{p+2,0} ein Isomorphismus ist für alle 0 \leq p \leq 2n-2, d.h. H^p(\mathds{P}^n_{\mathds{C}}) \cong H^{p+2}(\mathds{P}^n_{\mathds{C}}). Nun ist H^0(\mathds{P}^n_{\mathds{C}}) = E_{\infty}^{0,0} = H^0(S^{2n+1})=\mathds{Z} und H^1(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})=E_{\infty}^{1,0} = 0. Für p>2n ist H^p(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})=0, weil \mathds{P}^n_{\mathds{C}} ein 2n-dimensionaler CW-Komplex ist. Daraus folgt nun: H^p(\mathds{P}^n_{\mathds{C}}) = \left\{\begin{array}{ll} \mathds{Z} & p\leq 2n \text{ und } p \text{ gerade } \\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right. Man hat übrigens auf der Serre-Spektralfolge auch eine sogenannte multiplikative Struktur; mit der kann man sogar herleiten, dass der Kohomologiering von \mathds{P}^n_{\mathds{C}} gleich \mathds{Z}[u]/(u^{n+1}) ist, wobei \mathrm{deg}(u)=2. Aufgabe. Für einen punktierten Raum B mit Basispunkt b_0 sei \Omega(B) = \{\omega : [0,1] \to B : \omega(0)=\omega(1)=b_0\} der Schleifenraum und P(B)=\{\omega : [0,1] \to B : \omega(0)=b_0\} der Wegeraum (dieser ist zusammenziehbar). Konstruiere eine Faserung \Omega(B) \to P(B) \to B und berechne damit die Kohomologiegruppen von \Omega(S^n) für n \geq 2.
 
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