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Neuer Abschnitt in Mehrfachintegrale
Die folgenden Eigenschaften der Doppelintegrale sollten intuitiv klar sein, deswegen möchte ich hier auf den Beweis der folgenden drei Eigenschaften verzichten. 1. Linearität des Doppelintegrals: int(int(\a*f(x,y)+\b*g(x,y),x,\Omega),y)=\a*int(int(f(x,y),x,\Omega),y)+\b*int(int(g(x,y),x,\Omega),y) Blicken wir zurück auf die Doppelsummen, sollte uns die Regel klar sein. 2. Erhaltung der Ordnung: Wenn auf \Omega f>=0 ist, so ist int(int(f(x,y),x,\Omega),y)>=0 wenn auf \Omega f<=g ist, so ist int(int(f(x,y),x,\Omega),y)<=int(int(g(x,y),x,\Omega),y) 3. Additivität des Doppelintegrals: Wenn der Grundbereich \Omega nun wie folgt aussieht, also dass er sich nicht wie in den beiden obigen Fällen darstellen lässt, dann muss \Omega so in n kleinere nichtüberlappende Grundbereiche aufgeteilt werden, dass sich deren Ränder explizit angeben lassen. Wenn f auf \Omega stetig ist, ist f auch auf allen \Omega_i stetig. Bild Hierbei ist int(int(f(x,y),x,\Omega),y)=int(int(f(x,y),x,\Omega_1),y)+...+int(int(f(x,y),x,\Omega_n),y) Kommen wir zum \frame Mittelwertsatz für Doppelintegrale Sind f und g auf dem Grundbereich \Omega stetig und ist g auf \Omega nichtnegativ, so existiert ein Punkt (x_0, y_0) \el\ \Omega mit int(int(f(x,y)*g(x,y),x,\Omega),y)=f(x_0,y_0)*int(int(g(x,y),x,\Omega),y) \frameoff Für den Beweis dieses Satzes benötigen wir die obigen Eigenschaften. Da f auf \Omega stetig ist und \Omega abgeschlossen und beschränkt ist, nimmt f dort ein Minimum m und ein Maximum M an. Also m*g(x,y)<=f(x,y)*g(x,y)<=M*g(x,y) Nutzen wir nun die zweite Eigenschaft int(int(m*g(x,y),x,\Omega),y)<=int(int(f(x,y)*g(x,y),x,\Omega),y)<=int(int(M*g(x,y),x,\Omega),y) Also nach Eigenschaft 1 m*int(int(g(x,y),x,\Omega),y)<=int(int(f(x,y)*g(x,y),x,\Omega),y)<=M*int(int(g(x,y),x,\Omega),y) Da g(x,y)>=0 nach Voraussetzung ist, ist auch int(int(g(x,y),x,\Omega),y)>=0 Für int(int(g(x,y),x,\Omega),y)=0 folgt aus dem Sandwichlemma m*0<=int(int(f(x,y)*g(x,y),x,\Omega),y)<=M*0 Also int(int(f(x,y)*g(x,y),x,\Omega),y)=0 und der Mittelwertsatz ist richtig für alle (x_0, y_0) \el \Omega. Sei nun int(int(g(x,y),x,\Omega),y)>0 , dann ist m<=int(int(f(x,y)*g(x,y),x,\Omega),y)/int(int(g(x,y),x,\Omega),y)<=M Mit dem Zwischenwertsatz für mehrere Variablen gibt es einen Punkt (x_0, y_0) \el\ \Omega mit f(x_0,y_0)=int(int(f(x,y)*g(x,y),x,\Omega),y)/int(int(g(x,y),x,\Omega),y) da f auf \Omega die Werte m und M annimmt. Also ist int(int(f(x,y)*g(x,y),x,\Omega),y)=f(x_0,y_0)*int(int(g(x,y),x,\Omega),y) für ein (x_0, y_0) aus \Omega. Setzen wir g(x,y)=1 , dann erhalten wir ebenfalls einen Mittelwertsatz \frame Es gibt einen Punkt (x_0, y_0) aus \Omega, für den gilt int(int(f(x,y),x,\Omega),y)=f(x_0,y_0)*(Inhalt von \Omega) \frameoff
 
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