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Neuer Abschnitt in Mehrfachintegrale
Dass man beim Doppelintegral int(int(f(x,y),x,\Omega),y) Schwierigkeiten bekommt, kann zwei Gründe haben. Einmal den Integranden f(x,y) und zum Zweiten den Bereich \Omega. Nun möchte ich euch zeigen, wie man durch eine geschickte Koordinatentransformation das Doppelintegral zu einem möglicherweise einfacheren Doppelintegral transformieren kann. Doch zunächst betrachte ich nur das Doppelintegral int(int(1,x,\Omega),y) Mich interessiert also nur der Grundbereich. Ein ebenes Gebiet, z.B. ein Rechteck D, oder ein Kreis oder Sonstiges in der uv-Ebene wird durch eine Transformation x=x(u,v) und y=y(u,v) in das xy- System transformiert und hat hier die Gestalt von S. Die Koordinatentransformation p(u,v)=(x;y)=(x(u,v);y(u,v)) sollte umkehrbar und die Vektoren p_u und p_v linear unabhängig sein, also x_u*y_v-y_u*x_v!=0 sein. Bild Wir haben also eine Parameterdarstellung der Fläche S. Schauen wir uns die Linien u_i und v_i an. Die Linie u_i geht durch die Transformation über in die Linie p(u_i,v)=(x(u_i,v);y(u_i,v)), v variabel und u_i konstant, und die Linie v_i in p(u,v_i)=(x(u,v_i);y(u,v_i)), u variabel und v_i konstant. Der Punkt (u_i, v_k)\el\ D geht über in den Punkt (x(u_i,v_k),y(u_i,v_k))\el\ S Bild Bild Uns interessiert erstmal nur die orangefarbene Fläche, die können wir im xy-System durch dx*dy darstellen. Wir wollen sie aber in einer Darstellung in Abhängigkeit von u und v. Bild Seien hier die Punkte A_1:=(x(u_1,v_1),y(u_1,v_1)) A_2:=(x(u_2,v_1),y(u_2,v_1))=(x(u_1+\Delta u,v_1),y(u_1+\Delta u,v_1)) A_1:=(x(u_1,v_2),y(u_1,v_2))=(x(u_1,v_1+\Delta v),y(u_1,v_1+\Delta v)) A_1:=(x(u_2,v_2),y(u_2,v_2))=(x(u_1+\Delta u,v_1+\Delta v),y(u_1+\Delta u,v_1+\Delta v)) Legen wir erstmal die Sekante S_1 zwischen A_1 und A_2 und die Sekante S_2 zwischen A_1 und A_3. Wir wollen nun t_1=p_u und t_2=p_v berechnen. Es ist t_1=lim(\Delta u->0,(p(u_1,v_1)-p(u_1+\Delta u,v_1))/(\Delta u)) Mit dem Mittelwertsatz der Vektordifferentialrechnung können wir t_1*\Delta u\approx p(u_1,v_1)-p(u_1+\Delta u,v_1)\approx p_u*\Delta u zeigen. Analog ist t_2=lim(\Delta u->0,(p(u_1,v_1)-p(u_1,v_1+\Delta v))/(\Delta v)) also t_2*\Delta v\approx p(u_1,v_1)-p(u_1,v_1+\Delta v)\approx p_v*\Delta v. Die von den beiden Vektoren p_u*\Delta u und p_v*\Delta v aufgespannte Fläche ist gleich dem Betrag des Kreuzprodukts. Um das Kreuzprodukt anwenden zu können, müssen wir als dritte Komponente z=0 wählen, da sonst das Kreuzprodukt nicht definiert ist. Die Fläche des orangefarbenen Bereichs ist also rund norm(p_u \cross p_v)*\Delta u*\Delta v. Bild Wird \Delta u und \Delta v infinitesimal klein, erhalten wir dx*dy=norm(p_u \cross p_v)*du*dv. Also int(int(1,x,S),y)=int(int(abs(p_u x p_v),u,D),v) Es gilt weiter: norm(p_u \cross p_v)=norm((pdiff(x(u,v),u);pdiff(y(u,v),u);0) \cross (pdiff(x(u,v),v);pdiff(y(u,v),v);0)) =abs(pdiff(x(u,v),u)*pdiff(y(u,v),v)-pdiff(x(u,v),v)*pdiff(y(u,v),u)) =abs(x_u*y_v-x_v*y_u) Dies war jetzt kein Beweis von völliger mathematischer Strenge, sondern sollte nur einen möglichen Beweis veranschaulichen.
 
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