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Neuer Abschnitt in Mehrfachintegrale
Wenn auf S aber eine Belegungsfunktion f(x,y) existiert, wie lautet sie dann auf D? Ich möchte zeigen, dass int(int(f(x,y),x,S),y)=int(int(f(x(u,v),y(u,v))*norm(p_u \times p_v),u,D),v) ist. Zerlegen wir D in n kleinere, sich nicht überlappende Grundbereiche D_1, ...,D_n. Damit zerlegen wir auch S in n kleinere Bereiche. int(int(f(x(u,v),y(u,v))*norm(p_u \times p_v),u,D),v) =sum(int(int(f(x(u,v),y(u,v))*norm(p_u \times p_v),u,D_i),v),i=1,n) Gilt wegen der Additivität des Doppelintegrals (das ist oben die dritte Eigenschaft). Wenden wir nun unseren obigen bewiesenen Mittelwertsatz an. Es gibt (a_i, b_i)\el\ D_i mit int(int(f(x(u,v),y(u,v))*norm(p_u \times p_v),u,D_i),v) =f(x(a_i,b_i),y(a_i,b_i))*int(int(norm(p_u \times p_v),u,D_i),v) Mit x_i=x(a_i,b_i) und y_i=y(a_i,b_i) und int(int(norm(p_u \times p_v),u,D_i),v)=(Inhalt von S_i) erhalten wir sum(f(x(a_i,b_i),y(a_i,b_i))*int(int(norm(p_u \times p_v),u,D_i),v),i=1,n) =sum(f(x_i,y_i)*(Inhalt von S_i),i=1,n) Wie oben sei wieder m_i das Minimum und M_i das Maximum von f auf S_i. Dann gilt nun m_i<=f(x_i, y_i)<=M_i, also U_f=sum(m_i*(Inhalt von S_i),i=1,n) <=int(int(f(x(u,v),y(u,v))*norm(p_u \times p_v),u,D),v) <=sum(M_i*(Inhalt von S_i),i=1,n) =O_f d.h. das Integral int(int(f(x(u,v),y(u,v))*norm(p_u \times p_v),u,D),v) ist zwischen zwei Riemannschen Summen für f eingeschlossen. Wenn wir nun n->\inf laufen lassen, folgt int(int(f(x,y),x,S),y)<=int(int(f(x(u,v),y(u,v))*norm(p_u \times p_v),u,D),v)<=int(int(f(x,y),x,S),y) Also ist tatsächlich int(int(f(x,y),x,S),y)=int(int(f(x(u,v),y(u,v))*norm(p_u \times p_v),u,D),v) Für Polarkoordinaten erhalten wir int(int(f(x,y),x,S),y)=int(int(f(r*cos \phi,r*sin \phi)*r,r,D),\phi)
 
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