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Beispiel 5: Man berechne int(int(x*y,x,\Omega),y), wobei \Omega der Bereich ist, der von den vier Kurven x^2+y^2=4, x^2+y^2=9, x^2-y^2=1, x^2-y^2=4 im ersten Quadranten begrenzt wird. Bild Die Kurven legen es nahe, u=x^2+y^2 und v=x^2-y^2 zu setzen. Dann läuft u von 4 bis 9 und v von 1 bis 4. Dann ist \Gamma in der uv\-Ebene ein Rechteck. Wir brauchen x und y in Abhängigkeit von u und v. Es ist x=sqrt((u+v)/2) und y=sqrt((u-v)/2). Diese Transformation bildet das Rechteck \Gamma auf \Omega ab. Es ist p(u,v)=(sqrt((u+v)/2);sqrt((u-v)/2)) Damit ist p_u=(1/(2*sqrt(2)*sqrt(u+v));1/(2*sqrt(2)*sqrt(u-v))) und p_v=(1/(2*sqrt(2)*sqrt(u+v));-1/(2*sqrt(2)*sqrt(u-v))) abs(p_u x p_v)=abs((0;0;-1/4*1/2*1/(sqrt(u+v)*sqrt(u-v))-1/4*1/2*1/(sqrt(u+v)*sqrt(u-v)))) =1/4*1/(sqrt(u+v)*sqrt(u-v)) Also ist int(int(x*y,x,\Omega),y) =int(int(sqrt((u+v)/2)*sqrt((u-v)/2)*1/4*1/(sqrt(u+v)*sqrt(u-v)),u,4,9),v,1,4) =15/8
 
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