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Verbände

1. Verbände und Hasse-Diagramme

Die Teilmengen A \subseteq S einer festen Menge S kann man miteinander schneiden und vereinigen; dabei ergeben sich neue Teilmengen, und es gelten gewisse Rechenregeln wie zum Beispiel A \cap A = A, A \cup B = B \cup A, und A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C). Bei Verbänden geht es darum, diese Rechenregeln in einem abstrakten Rahmen zu axiomatisieren. Definition. Ein Verband V=(X,\vee,\wedge) besteht aus einer Grundmenge X und zwei binären kommutativen assoziativen Verknüpfungen \vee,\,\wedge: X \times X \to X derart, dass die beiden sog. Absorbtionsgesetzea \vee (a \wedge b) = aa \wedge (a \vee b) = a für alle a,b \in X gelten. Der Vollständigkeit halber schreiben wir auch noch aus, was Kommutativität und Assoziativität besagen: Für alle a,b,c \in X gilt: • a \vee b = b \vee a,a \wedge b = b \wedge aa \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee ca \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c Verbände sind demnach algebraische Strukturen. Man nennt |V|:=X auch die unterliegende Menge von V. Man nennt a \vee b die Vereinigung, und a \wedge b den Schnitt von a und b. Bemerkung. (a) Aus den Absorbtionsgesetzen folgt a \wedge a = a und analog a \vee a = a (Idempotenz), denn es gilt a \wedge a = a \wedge (a \vee (a \wedge a))=a. (b) Die Axiome eines Verbands sind völlig symmetrisch; daher ist mit V=(X,\vee,\wedge) auch V^{\mathrm{op}}:=(X,\wedge,\vee) ein Verband. Definition. Ein beschränkter Verband (X,\vee,\wedge,0,1) besteht aus einem Verband (X,\vee,\wedge) und zwei Elementen 0,1 \in X derart, dass • a \vee 0 = aa \wedge 1 = a für alle a \in X gilt. Ein distributiver Verband ist ein Verband, in dem die Distributivgesetzea \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c) gelten. Tatsächlich lässt sich das eine Distributivgesetz jeweils aus dem anderen herleiten, siehe hier. Bemerkung. In einem beschränkten Verband gilt a \wedge 0 = (a \vee 0) \wedge 0 = 0 und analog a \vee 1 = 1 für alle a. Definition. Ein beschränkter distributiver Verband ist ein beschränkter Verband, dessen unterliegender Verband distributiv ist. Bemerkung. In einem beschränkten distributiven Verband gelten die Gleichungen a \vee \bigwedge_{i \in I} b_i = \bigwedge_{i \in I} a \vee b_i\medskip\\a \wedge \bigvee_{i \in I} b_i = \bigvee_{i \in I} a \wedge b_i für endliche Indexmengen I, wobei \bigwedge_{i \in I} b_i (und analog \bigvee_{i \in I} b_i) rekursiv durch \bigwedge_{i \in \emptyset} b_i = 1 und \bigwedge_{i \in \{j\} \sqcup I} b = b_j \wedge \bigwedge_{i \in I} b_i definiert ist. Beispiel. (a) Für jede feste Menge S bilden die Teilmengen von S einen beschränkten distributiven Verband (\mathcal{P}(S),\cup,\cap,\emptyset,S). (b) Es gibt den beschränkten distributiven Verband \mathds{B}:=(\{0,1\},\vee,\wedge,0,1), wobei (notwendigerweise) a \vee 0 = a, a \wedge 0 = 0, a \vee 1 = 1, a \wedge 1 = a für a \in \{0,1\}. Dies entspricht gerade dem Teilmengenverband einer Menge mit nur einem Element. (c) Für eine natürliche Zahl n ist (\text{Teilermenge von } n,\mathrm{kgV},\mathrm{ggT},1,n) ein beschränkter distributiver Verband; wir lassen hierbei nur nichtnegative Teiler zu. Für n=0 ergibt sich (\mathds{N},\mathrm{kgV},\mathrm{ggT},1,0). (d) Es ist (\mathds{N} \cup \{\infty\},\max,\min,0,\infty) ein beschränkter distributiver Verband. (e) Für einen K-Vektorraum V hat man den beschränkten Verband der Unterräume von V, wobei hier \wedge der Durchschnitt und \vee die Summe von zwei Unterräumen ist. Dieser Verband ist allerdings etwa für V=K^2 nicht distributiv, denn es gilt \langle (1,1) \rangle \cap \bigl(\langle (1,0) \rangle + \langle (0,1) \rangle\bigr) = \langle (1,1)\rangle,\medskip\\\bigl(\langle (1,1) \rangle \cap \langle (1,0) \rangle\bigr) + \bigl(\langle (1,1) \rangle \cap \langle (0,1) \rangle\bigr) = \langle (0,0)\rangle. Analog ist der Verband der Untergruppen einer festen Gruppe in der Regel nicht distributiv. Definition. Ein Homomorphismus von Verbänden ist eine Abbildung der unterliegenden Mengen, welche \vee und \wedge erhält. Zwischen distributiven Verbänden wählen wir dieselben Homomorphismen. Ein Homomorphismus von beschränkten Verbänden ist eine Abbildung der unterliegenden Mengen, welche 0,1,\vee,\wedge erhält. Zwischen beschränkten distributiven Verbänden wählen wir dieselben Homomorphismen. Wir erhalten also vier Kategorien zusammen mit Vergissfunktoren, deren Objekte die (beschränkten) (distributiven) Verbände sind: \begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt,align=center,text width=9mm},row sep=15pt,column sep=2pt]\phantom{.}& \mathsf{DV} \ar{dr} & \\ \mathsf{BDV} \ar{ur} \ar{dr} && \mathsf{V} \\ & \mathsf{BV} \ar{ur} & \end{tikzcd} Wie bei allen algebraischen Kategorien gilt hier: Die Isomorphismen sind genau die bijektiven Homomorphismen. Beispiel. Sei f : S \to T eine Abbildung. Diese induziert dann einen Homomorphismus zwischen den Teilmengenverbänden f^* : (\mathcal{P}(T),\cup,\cap,\emptyset,T) \to (\mathcal{P}(S),\cup,\cap,\emptyset,S), A \mapsto f^{-1}(A). Das liegt an den Gleichungen f^{-1}(\emptyset)=\emptyset, f^{-1}(T)=S, f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B), f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B). Die Abbildung f_* : \mathcal{P}(S) \to \mathcal{P}(T), A \mapsto f_*(A) := \{f(a) : a \in A\} ist allerdings i.A. kein Homomorphismus, denn f_*(S)=T gilt nur für surjektive f, und f_*(A \cap B)=f_*(A) \cap f_*(B) für alle A,B \subseteq S gilt nur für injektive f. Beispiel. Wenn R ein kommutativer Ring ist, so bilden seine Ideale bezüglich der gewöhnlichen Addition und dem Schnitt von Idealen einen beschränkten Verband I(R). Wenn R ein Hauptidealring ist, so definiert (R/R^{\times},\mathrm{ggT},\mathrm{kgV},[0],[1]) \to I(R), [x] \mapsto xR einen Isomorphismus von beschränkten Verbänden. Insbesondere ist dann I(R) distributiv. Es ist I(R) auch dann distributiv, wenn R ein Dedekindring ist: Denn es bettet sich I(R) in das Produkt der Verbände I(R_{\mathfrak{p}}) ein, wobei \mathfrak{p} alle Primideale von R durchläuft, und R_{\mathfrak{p}} ist jeweils ein Hauptidealring. Eine wichtige Beobachtung ist dass wir aus jedem Verband eine partielle Ordnung erhalten: Definition. Es sei V=(X,\vee,\wedge) ein Verband. Wir definieren die Relation \leq auf X durch a \leq b \Longleftrightarrow a \vee b = b. Aus a \vee b = b folgt a \wedge b = a \wedge (a \vee b) = a, und umgekehrt: Aus a \wedge b = a folgt a \vee b = (a \wedge b) \vee b = b. Daher ist also a \leq b \Longleftrightarrow a \wedge b = a. Man prüft leicht, dass \leq eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation ist. Man erhält also eine partielle Ordnung (X,\leq), die zu V assoziierte partielle Ordnung. Der Leser sollte sich an dieser Stelle überlegen, wie diese in den oben genannten Beispielen (a)-(e) konkret aussieht. Die assoziierte partielle Ordnung liefert uns einen Funktor \mathsf{V} \longrightarrow \mathsf{PO}, wobei \mathsf{PO} die Kategorie der partiellen Ordnungen zusammen mit monotonen Abbildungen bezeichnet. Dieser Funktor ist nicht voll, denn eine monotone Abbildung muss nicht \vee erhalten. Wenn wir die Kategorie allerdings abändern, so erhalten wir sogar:
Satz. (a) Es sei \mathsf{PO}_{\mathsf{sup},\mathsf{inf}} die Kategorie der partiellen Ordnungen, für die jedes Paar von Elementen ein Infimum und ein Supremum besitzt, zusammen mit monotonen Abbildungen, die diese Infima und Suprema erhalten. Dann gibt es einen Isomorphismus von Kategorien \mathsf{PO}_{\mathsf{sup},\mathsf{inf}} \cong \mathsf{V}. (b) Wenn \mathsf{BPO}_{\mathsf{sup},\mathsf{inf}} die Kategorie der partiellen Ordnungen wie oben bezeichnet, für die ebenfalls ein kleinstes und ein größtes Element existiert, zusammen monotonen Abbildungen, die Infima, Suprema und kleinste wie größte Elemente erhalten, so gibt es einen Isomorphismus von Kategorien \mathsf{BPO}_{\mathsf{sup},\mathsf{inf}} \cong \mathsf{BV}.
Beweisskizze. In der zu einem Verband assoziierten partiellen Ordnung gilt \sup(a,b) = a \vee b und \inf(a,b) = a \wedge b. Wir erhalten daher einen Funktor \mathsf{V} \longrightarrow \mathsf{PO}_{\mathsf{sup},\mathsf{inf}}. Den inversen Funktor definiert man so: Ist P \in \mathsf{PO}_{\mathsf{sup},\mathsf{inf}}, so definiere auf der Grundmenge |P| die Struktur eines Verbands durch a \vee b := \sup(a,b) und a \wedge b := \inf(a,b). Das Absorbtionsgesetz \sup(a,\inf(a,b))=a folgt sofort aus \inf(a,b) \leq a; analog folgt \inf(a,\sup(a,b))=a aus a \leq \sup(a,b). \checkmark Aufgrund dieses Satzes findet man in manchen Quellen auch die Definition, dass ein Verband eine partielle Ordnung mit binären Infima und Suprema ist. Wir können partielle Ordnungen, insbesondere also Verbände, wie folgt graphisch veranschaulichen: Definition. Das Hasse-Diagramm einer partiellen Ordnung P ist der gerichtete Graph, dessen Knotenmenge |P| ist, und in dem es eine Kante a \to b genau dann gibt, wenn a \neq b und a \leq b gilt, und für jedes x mit a \leq x \leq b schon a=x oder x=b gilt. Üblicherweise zeichnet man lediglich einen ungerichteten Graphen mit der Vereinbarung, dass die nächst größeren Elemente oben liegen. Im beschränkten Fall ist demnach 0 ganz unten und 1 ganz oben. Beispiel. Das Hasse-Diagramm des Verbandes der K-Unterräume von K^2 sieht für K=\mathds{F}_2 so aus: \begin{tikzcd}[nodes={inner sep=1pt},column sep=20pt,row sep=20pt,font=\small] \phantom{.} & K^2 &\phantom{.} \\ \langle (1,0) \rangle \ar[-]{ur} & \langle (1,1) \rangle \ar[-]{u} & \langle (0,1) \rangle \ar[-]{ul} \\ & \langle (0,0) \rangle \ar[-]{ur} \ar[-]{ul} \ar[-]{u} & \end{tikzcd} Beispiel. Der Teilerverband von 60 besitzt das folgende Hasse-Diagramm: \begin{tikzcd}[column sep=8pt,row sep=18pt,nodes={inner sep=1pt,align=center,text width=10mm}] &60 && \\ 12 \ar[-]{ur} & 20 \ar[-]{u} \ar[-,crossing over]{dr} & 30\ar[-]{ul} \ar[-,crossing over]{dl} & \\ 4 \ar[-]{u} \ar[-]{ur} & 6 \ar[-,crossing over]{ul} & 10\ar[-]{u} \ar[-]{dr} & 15 \ar[-]{ul}\ar[-,crossing over]{dl} \\ & 2 \ar[-]{u} \ar[-]{ul} \ar[-]{ur} & 3 \ar[-,crossing over]{ul} & 5 \ar[-]{u} \\ & & 1 \ar[-]{ul} \ar[-]{u} \ar[-]{ur} & \end{tikzcd} Allgemeiner ist der Teilerverband einer positiven natürlichen Zahl n = p_1^{k_1} \cdot \dotsc \cdot p_s^{k_s} in Primfaktorzerlegung ein s-dimensionaler "Quader" mit den Seitenlängen k_1,\dotsc,k_s. Bemerkung. Das Hasse-Diagramm eines Verbandes zeichnet sich dadurch aus, dass je zwei Knoten oben und unten (i.W. eindeutig) miteinander verbunden sind. Daher auch der Name Verband. So korrespondieren etwa die folgenden zwei Hasse-Diagramme nicht zu Verbänden: \begin{tikzcd}[nodes={inner sep=-1pt},column sep=27pt,row sep=27pt] \bullet & \bullet & \bullet \\ & \bullet \ar[-]{ur} \ar[-]{ul} \ar[-]{u} & \end{tikzcd} \hspace{1cm} \begin{tikzcd}[nodes={inner sep=-1pt},column sep=30pt,row sep=27pt] \bullet & \bullet \\ \bullet \ar[-]{u} \ar[-]{ur} & \bullet \ar[-]{u} \end{tikzcd}
 
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