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Rotationskörper

Rotationskörper

Für die erste Anwendung müssen wir zuerst klären, wie wir rotationssymmetrische Körper betrachten wollen. Vorraussetzung, um die Mittel der Integralrechnung anwenden zu können, ist, dass wir unserem Rotationskörper eine Funktion zuordnen können. Idealerweise ist das eine Funktion, die einen "Querschnitt" durch den Rotationskörper darstellt. So hat z.B. dieser Kegel hier: \geo ebene(400,300) x(0,4) y(-1.5,1.5) plot(x/3) plot(-x/3) nolabel() p(3.0,0,q,hide) p(3.5,0,r,hide) strahl(q,r) konst(a,0.3) konst(b,1) param(xx,2.7,3.3,0.001) kurve(xx,b/a*sqrt(a^2-power(xx-3,2))) kurve(xx,-b/a*sqrt(a^2-power(xx-3,2))) fill(2,0.5,ccccff) fill(3,0.5,8888aa) \geooff \geoprint() diesen Querschnitt: \geo ebene(400,300) x(0,4) y(-1.5,1.5) plot(x/3) plot(-x/3) nolabel() punkt(3,1,p,hide) punkt(3,-1,q,hide) s(p,q) \geooff \geoprint() Dem obigen Kegel würden wir also die Funktion y=1/3\.x zuordnen, da durch Rotation dieser Geraden um die x-Achse eben dieser Kegel entstehen würde. Natürlich müssen wir auch darauf achten, dass wir ein Intervall festlegen, denn offensichtlich entstehen verschiedene Körper, wenn wir nur den Teil der Funktion im Intervall [1,3] rotieren lassen und wenn wir sie im Intervall [0,3] rotieren lassen würden. Im ersten Fall entstünde ein Kegelstumpf, im zweiten ein echter Kegel. Entscheidend ist die Darstellbarkeit durch eine "Randfunktion". Wir wollen uns in diesem Artikel auf solche Rotationskörper beschränken, zu denen wir eine stetige Randfunktion angegeben können, also eine Funktion, die durch Rotation um x- oder y-Achse wieder den Rotationskörper ergibt. Die Forderung nach der Stetigkeit ist sinnvoll, da wir so garantieren können, dass wir die Integralrechnung auch wirklich einsetzen können.
 
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