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6. zur Unendlichkeit der 5-elementigen T_{P_{n}}

6. zur Unendlichkeit der 5-elementigen T_{P_{n}}

Lemma 5: Die Anzahl a_{5,n} der 5-elementigen teilbaren Bereiche bezüglich P_{n} für n>3 im Intervall [1 ... \prod_{P_{n}}] ist exakt durch nachfolgende Folgenentwicklung gegeben: a_{5,3} = 2 a_{5,4} = a_{5,3} (p_{4} - 2) + a_{1,3,3} \vdots a_{5,n} = a_{5,n-1} (p_{n} - 2) + a_{1,3,n-1} , \ wobei\ a_{1,3,m} = 2\prod_{i=3}^{m}(p_{i} - 3) ist. Beweis: Die Behauptung ist richtig für n=3 , da im Intervall [1 ... 30] mit [2 ... 6] und [24 ... 28] genau 2 5-elementige T_{P_{3}} existieren. Sei die Behauptung richtig für n=k , so existieren in [1 ... \prod_{P_{k}}] genau a_{5,k} = a_{5,k-1} (p_{k} - 2) + a_{1,3,k-1} 5-elementige teilbare Bereiche bezüglich P_{k}. In [1 ... \prod_{P_{k+1}}] müssen dann p_{k+1}a_{5,k} 5-elementige teilbare Bereiche bezüglich P_{k} existieren. Durch p_{k+1} verringert sich einerseits diese Anzahl um 2a_{5,k} , da aus diesen 5-elementigen teilbaren Bereiche bezüglich P_{k} größere teilbare Bereiche bezüglich P_{k+1} werden. Andererseits entstehen aus den 1-3-Konstellationen zusätzlich genau 2\prod_{i=3}^{k}(p_{i} - 3) 5-elementige teilbare Bereiche bezüglich P_{k+1} indem die mittleren Grenzzahlen der 1-3-Konstellationen durch p_{k+1} wirksam geteilt werden. Zusammengefasst und etwas umgestellt ergibt das: a_{5,k+1} = a_{5,k} (p_{k+1} - 2) + a_{1,3,k}.\ q.e.d.
 
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