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Anhang 1: Zorns Lemma

Eine \stress\ geordnete Menge \normal\ ist eine Menge A mit einer \stress\ reflixiven\normal\ , \stress\ transitiven\normal\ und \stress\ antisymmetrischen\normal\ Relation <= auf M, dh. für alle a\el M gilt a<=a, a<=b und b<=c implizieren a<=c und schlißlich implizieren a<=b und b<=a dass a=b. Ein Element m\el A heist \stress\ maximal \normal\ wenn es kein a gibt so dass a!=m und m<=a. Eine Teilmenge K\subsetequal\ M heist \stress\ Kette \normal\ wenn a<=b oder b<=a für zwei beliebige Elemente a und b von K gilt. Ein o\el\ M heist \stress\ obere \stress\Schranke \normal\ von einer Teilmenge T\subsetequal\ M wenn für alle a\el T gilt a<=o. Zorns Lemma ist nun: \stress\ Satz: \normal\ Wenn M eine geordnete Menge ist in der jede Kette eine obere Schranke hat, dann ist ein Element von M maximal. Seinen Namen hat Zorns Lemma von Max Zorn, es wurde jedoch erstmals von Kazimierz Kuratowski bewiesen. Intuitiv lässt sich Zorns Lemma so erklären: Mittels Auswahlaxiom (zu dem Zorns Lemma äquivalent ist) schaffen wir eine transfinite Folge a_0 < a_1 < a_2 < ... Irgendwann gehen uns die strikt größeren Elemente aus und wir sind bei einem maximalen Element angelangt. Mit etwas Wissen über Ordinalzahlen lässt sich das auch wirklich genau so beweisen. Ohne Ordnialzahlen werden die Beweise deutlich komplizierter. Ein elementarer aber schwierigerer Beweis findet sich in dem Artikel Über das Auswahlaxiom von Fabi.
 
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