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Geometrische Summe

7. Die geometrische Summe

Für <math>n \in \mathds{N}</math> und zwei reelle Zahlen <math>a,b</math> gilt die Gleichung

<math>\displaystyle (a-b) (a^n + a^{n-1} b + \dotsc + a b^{n-1} + b^n) = a^{n+1} - b^{n+1},</math>

oder etwas präziser aufgeschrieben

<math>\displaystyle (a-b) \sum_{i=0}^{n} a^{n-i} b^i = a^{n+1}-b^{n+1}.</math>

Ein separater Beweis mit vollständiger Induktion ist hier nicht nötig. Stattdessen sollte man sich auf die allgemeinen Rechenregeln

<math>\displaystyle (4) ~~~ r \sum_{i=0}^{n} a_i = \sum_{i=0}^{n} r a_i</math> verallgemeinertes Distributivgesetz

<math>\displaystyle (5) ~~~ \sum_{i=0}^{n-1} a_{i+1} = \sum_{i=1}^{n} a_i</math> Indexshift


berufen, die auch in vielen anderen Situationen sehr hilfreich sind und sich ganz leicht per vollständiger Induktion bestätigen lassen. Damit können wir den Wert der Summe auch herleiten, d.h. wir müssen das Ergebnis <math>a^{n+1}-b^{n+1}</math> gar nicht vorab kennen, um es zu überprüfen, wie das bei einem Induktionsbeweis der Fall wäre.

Mit (4) und (5) berechnen wir nun:

<math>\displaystyle ~~~\, (a-b) \sum_{i=0}^{n} a^{n-i} b^i \\ \medskip
= a  \sum_{i=0}^{n} a^{n-i} b^i \, - \,  b \sum_{i=0}^{n} a^{n-i} b^i \\ \medskip
= \sum_{i=0}^{n} a^{n-i+1} b^i - \sum_{i=0}^{n} a^{n-i} b^{i+1} \\ \medskip
= \sum_{i=0}^{n} a^{n-i+1} b^i - \sum_{i=1}^{n+1} a^{n-i+1} b^{i} \\ \medskip
= a^{n+1}+\sum_{i=1}^{n} a^{n-i+1} b^i   - \sum_{i=1}^{n} a^{n-i+1} b^{i} - b^{n+1}\\ \medskip
= a^{n+1} - b^{n+1}.</math>

Falls <math>a \neq b</math>, können wir das Ergebnis auch schreiben als

<math>\displaystyle \sum_{i=0}^{n} a^i b^{n-i} = \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a-b}.</math>

Der Spezialfall <math>b=1</math> lautet:

<math>\displaystyle \sum_{i=0}^{n} a^i = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}</math> geometrische Summenformel

Hierfür gibt es auch geometrische Beweise (siehe hier). Wir können denselben Beweis auch etwas intuitiver mit der Pünktchenschreibweise notieren: Wir multiplizieren dazu <math>(a-b)(a^n + a^{n-1} b + \dotsc + a b^{n-1} + b^n)</math> aus (d.h. wenden das Distributivgesetz an) und erhalten

<math>a^{n+1} + a^n b + \dotsc + a^2 b^{n-1} + a b^n - a^n b - a^{n-1} b - \dotsc - a b^n - b^{n+1}.</math>

Hierbei kürzen sich alle Terme weg, außer <math>a^{n+1}</math> und <math>b^{n+1}</math>. Auch das ist ein präziser Beweis, sobald man die hier implizit verwendeten Rechenregeln allgemein bewiesen hat.
 
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