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Alternierende Summe

8. Eine alternierende Summe

Wir möchten die alternierende Summe <math>\sum_{i=1}^{2n} \frac{(-1)^{i-1}}{i}</math> berechnen (oder jedenfalls etwas vereinfachen). Wir bedienen uns dabei lediglich der allgemeinen Rechenregeln für Summen:

<math>\displaystyle ~~~\,\sum_{i=1}^{2n} \frac{(-1)^{i-1}}{i} \\ \medskip
=\sum_{\substack{i \in \{1,\dotsc,2n\} \\ i \text{ ungerade}}} \frac{(-1)^{i-1}}{i} + \sum_{\substack{i \in \{1,\dotsc,2n\} \\ i \text{ gerade}}} \frac{(-1)^{i-1}}{i} \\ \medskip
=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i-1} + \sum_{i=1}^{n} \left(-\frac{1}{2i}\right) \\ \medskip
=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i-1} + \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{i}\right) \\ \medskip
=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i-1} + \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i} -  \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \\ \medskip
=\sum_{i=1}^{2n} \frac{1}{i} -  \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \\ \medskip
=\sum_{i=n+1}^{2n} \frac{1}{i}.</math>

Man könnte auch verlangen, die Gleichung

<math>\displaystyle  \sum_{i=1}^{2n} \frac{(-1)^{i-1}}{i} = \sum_{i=n+1}^{2n} \frac{1}{i}</math>

per Induktion nach <math>n</math> zu zeigen. Aber das wäre wieder nichts weiter als eine isolierte Rechenübung, die nicht die Frage beantworten kann, wie man überhaupt auf die rechte Seite gekommen ist.
 
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