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Vorschau:
Fakultät

11. Eine Ungleichung mit der Fakultät

Für <math>n \in \mathds{N}_{\geq 1}</math> behaupten wir

<math>\displaystyle n! > \left(\frac{n}{2}\right)^{\mathlarger{\frac{n}{2}}}\hspace{-3pt}.</math>

Dabei ist die Fakultät <math>n! = 1 \cdot \dotsc \cdot n</math> rekursiv durch <math>0! = 1</math> und <math>(n+1)! = n! \cdot (n+1)</math> definiert. Bevor man hier gleich reflexartig anfängt, eine Induktion zu starten und beim Induktionsschritt ziemlich sicher ratlos verbleibt, sollte man sich lieber die Faktoren in der Fakultät genauer anschauen. Wenn <math>n</math> zum Beispiel gerade ist, dann sind die letzten <math>n/2</math> Faktoren <math>n/2+1,\dotsc,n/2+n/2=n</math> allesamt größer als <math>n/2</math>. Die behauptete Ungleichung ist also sofort klar. Wenn <math>n</math> ungerade ist, so lauten die letzten <math>(n+1)/2</math> Faktoren <math>(n+1)/2,\dotsc,(n+1)/2 + (n-1)/2=n</math>. Diese sind allesamt größergleich als <math>(n+1)/2</math>. Wir sehen daher <math>n! \geq ((n+1)/2)^{(n+1)/2} > (n/2)^{n/2}</math>.

Benutzt haben wir hier natürlich die allgemeinen Rechenregeln für Produkte. Zum Beispiel dass aus <math>a_i > b_i > 0</math> für <math>i=1,\dotsc,n</math> auch <math>\prod_{i=1}^{n} a_i > \prod_{i=1}^{n} b_i</math> folgt. Das lässt sich sofort per Induktion nach <math>n</math> bestätigen. Eine noch viel einfachere Ungleichung ist

<math>\displaystyle n! \geq 2^{n-1}</math>

für <math>n \geq 1</math>. Dies ist klar, denn in <math>n! = 2 \cdot \dotsc \cdot n</math> ist jeder der <math>n-1</math> Faktoren <math>\geq 2</math>. Keine separate Induktion ist nötig - die würde alles nur verkomplizieren.

12. Eine Summe mit Fakultäten

Wogegen es für die Summe <math>\sum_{k=1}^{n} k!</math> anscheinend keine Vereinfachung gibt, können wir die Summe <math>\sum_{k=1}^{n} k \cdot k!</math> drastisch vereinfachen: Wir schreiben <math>k=(k+1)-1</math> (um gleich die Rekursionsgleichung der Fakultät auszunutzen!) und ziehen die Summe damit auseinander:

<math>\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = \sum_{k=1}^{n} (k+1) \cdot k! - \sum_{k=1}^{n} k! = \sum_{k=1}^{n} (k+1)! - \sum_{k=1}^{n} k! = \sum_{k=2}^{n+1} k! - \sum_{k=1}^{n} k!</math>

Hier kürzt sich fast alles weg. Wir erhalten:

<math>\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)! - 1.</math>

Wir haben hierfür lediglich die allgemeinen Rechenregeln für Summen benutzt. Ein separater Induktionsbeweis wäre zwar auch möglich, aber weniger erhellend. Im Induktionsschritt verwendet man i.W. <math>(n+1)! - 1 + (n+1) (n+1)! = (n+2)! - 1</math>.
 
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