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Basis

16. Auswahl einer Basis

Hier noch ein Beispiel, wo es meiner Einschätzung nach wirklich Sinn ergibt, eine (separate) vollständige Induktion zu verwenden: Es sei <math>V</math> ein endlich-erzeugter Vektorraum. Wir möchten zeigen, dass <math>V</math> eine Basis besitzt. Wir wählen dazu ein endliches Erzeugendensystem <math>b_1,\dotsc,b_n</math>. Wenn dieses linear unabhängig ist, sind wir fertig. Ansonsten gibt es eine nichttriviale Linearkombination. Wenn der Koeffizient vor <math>b_j</math> etwa nicht verschwindet, so sehen wir, dass <math>b_j</math> im Erzeugnis von <math>b_1,\dotsc,b_{j-1},b_{j+1},\dotsc,b_n</math> liegt. Wir haben unser Erzeugendensystem also verkürzt. Wiederholen wir dieses Verfahren, landen wir irgendwann bei einer Basis <math>b_{i_1},\dotsc,b_{i_d}</math>.

Ist das ein Beweis? Es wäre sicherlich besser, wenn wir mehr über dieses "irgendwann" sagen könnten. Doch zunächst verstärken wir einmal die Behauptung. Wir behaupten, dass es für jedes endliche Erzeugendensystem <math>(b_i)_{i \in I}</math> eines beliebigen Vektorraumes eine Teilmenge <math>T \subseteq I</math> gibt, sodass <math>(b_i)_{i \in T}</math> eine Basis ist. Und genau das können wir nun per vollständiger Induktion nach der Anzahl der Elemente <math>\# I</math> beweisen, wobei unser obige Beweis schon im Prinzip den Induktionsschritt beinhaltet. Der Induktionsanfang mit <math>I=\emptyset</math> ist klar. Nun sei <math>(b_i)_{i \in I}</math> ein Erzeugendensystem. Wenn es linear unabhängig ist, wählen wir <math>T=I</math> und sind fertig. Wenn nicht, gibt es ein <math>j \in I</math>, sodass sich <math>b_j</math> durch die <math>b_i</math> mit <math>i \neq j</math> linear kombinieren lässt. Es ist folglich auch <math>(b_i)_{i \in I \setminus \{j\}}</math> ein Erzeugendensystem. Nach Induktionsannahme gibt es eine Teilmenge <math>T \subseteq I \setminus \{j\}</math>, sodass <math>(b_i)_{i \in T}</math> eine Basis ist. Weil auch <math>T \subseteq I</math> gilt, sind wir fertig.
 
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