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Vorschau:
Über das Auswahlaxiom



Jetzt muss der König seine alte Arbeitsart aufgeben - er kann nicht mehr alle Provinzen einzeln durchgehen und einen Statthalter ernennen.
Stattdessen wird ab jetzt in jeder Provinz der älteste Mensch, der dort lebt, Statthalter.
Die Menschen in dem Königreich waren aber leider sehr vermehrungsfreudig und lebten immer länger, bis sie irgendwann unendlich lange lebten, und irgendwann - nach unendlicher Zeit - lebten in allen der unendlich vielen Provinzen unendlich viele Menschen, und es gab keinen ältesten Menschen mehr (es gab zu jedem Menschen immer noch einen älteren).

Der König musste jetzt also unendlich viele Entscheidungen treffen, und er konnte diese Entscheidungen nicht generalisieren - es gab also keine Möglichkeit, eine Voraussetzung für den Statthalterposten zu schaffen, die in jeder Provinz nur von einer Person erfüllt wird ( wie es z.B. das Alter bei den endlich vielen Einwohnern der Provinz war).

Mathematisch gesprochen, hat der König also folgendes Problem: Er hat unendlich viele Mengen (die Provinzen) mit je unendlich vielen Elementen (den Einwohnern).
Der König musste jetzt eine Funktion angeben, die jeder der unendlich vielen Mengen eins ihrer Elemente (den Statthalter) zuordnet, und es ist nicht möglich, eine echte Funktionsvorschrift anzugeben (wie es beispielsweise die Ernennung des Provinzältesten zum Statthalter wäre). Die Frage ist: Gibt es eine solche Abbildung?

Konkreter:
Gibt es zu jeder Familie I von nichtleeren Mengen Ai eine Abbildung

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für alle i?

Intuitiv denkt man, die Antwort wäre ein klares "ja", und so wurde diese Aussage auch lange Zeit von den Mathematikern behandelt - sie wurde einfach benutzt, ohne darüber nachzudenken.
Zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurde dann jedoch versucht, die Mathematik - insbesondere die Mengenlehre - auf ein solides Axiomenfundament zu stellen. Dies gelang auch - zumindest scheinbar. Dann stellte sich heraus, dass aus diesen Axiomen nicht die Existenz einer Abbildung mit den obigen Eigenschaften folgt.

Von vielen Mathematikern wurde die Existenz einer solchen Abbildung jedoch als intuitiv einsichtig und wichtig angesehen (warum dieser Satz wichtig ist, werden wir später noch sehen), deshalb wurde dieser Satz in den Rang eines weiteren Axioms erhoben.
Dieses Axiom wurde Auswahlaxiom genannt (auf Englisch Axiom of Choice, die Abkürzung AC kommt häufig vor), da es besagt, dass man aus jeder Familie von Mengen zu jeder Menge einen Repräsentanten auswählen kann:

Auswahlaxiom:
Sei I eine Indexmenge und Ai (nichtleere) Mengen.
Dann gibt es eine Abbildung

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Das Auswahlaxiom ist sehr stark – es erlaubt, unendlich viele zufällige Entscheidungen auf einmal zu treffen (nämlich zu einer Menge einen zufälligen Repräsentanten auswählen zu können).

Es hat aber eine Schwäche:
Es ist nur eine Existenzaussage, keine Konstruktion einer solchen Abbildung.
Man kann also viele der Abbildungen, die aufgrund des Axioms existieren müssen, nie angeben. Dies führte dazu, dass einige Mathematiker das Auswahlaxiom ablehnten, besonders nachdem mithilfe des Auswahlaxioms der folgende Satz bewiesen wurde:

Wohlordnungsprinzip:
Jede Menge lässt sich wohlordnen

Dabei heißt eine Menge A wohlgeordnet, wenn es eine < - Relation gibt, so dass gilt:

1. für a,b aus A gilt entweder a < b oder b < a oder a = b
2. ist a < b und b < c, so ist a < c
3. Jede nichtleere Teilmenge von A enthält ein kleinstes Element

So sind z.B. die natürlichen Zahlen wohlgeordnet - jede Teilmenge der natürlichen Zahlen enthält ein kleinstes Element. Die reellen Zahlen sind jedoch mit der üblichen Ordnungsrelation nicht wohlgeordnet - z.B. enthält ]0,1] kein kleinstes Element.
Das Wohlordnungsprinzip besagt nun aber, dass es eine < - Relation auf R gibt (die nichts mit der üblichen Definition von kleiner zu tun haben muss), mit der R wohlgeordnet ist. Diese Ordnungsrelation ist aber bis heute noch nicht gefunden worden und wird wohl auch nie gefunden werden - weil das Auswahlaxiom nicht konstruktiv ist und man deshalb die Wohlordnung nicht konstruieren kann.

Gälte das Auswahlaxiom jedoch nicht, so gälte auch das Wohlordnungsprinzip nicht - und das Wohlordnungsprinzip ist keine besonders intuitiv einsichtige Aussage, sondern im Gegenteil sehr unanschaulich. Um diesen „schlechten“ Satz aus dem Weg zu räumen, sollte das Auswahlaxiom aus der Sicht von einigen Mathematikern (den "Konstruktivisten") wieder verworfen werden.

Nun aber zu den „guten“ Seiten des Auswahlaxioms:

Mithilfe des Auswahlaxioms kann man das (zumindest vom Namen) recht bekannte Zornsche Lemma beweisen.
Dazu zunächst einige Vorbereitungen:

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Zornsches Lemma:

Gibt es zu jeder total geordneten Teilmenge einer halbgeordneten
Menge A eine obere Schranke, so enthält A ein maximales Element.

(Der Beweis folgt am Ende des Artikels)

Mit dem Lemma kann man einige sehr elementare Sätze beweisen, so z.B.:

Jeder Vektorraum hat eine Basis

Für endlich erzeugte Vektorräume ist das klar – man nimmt sich ein endliches Erzeugendensystem und lässt solange Vektoren herausfallen, dass sich das Erzeugnis nicht ändert, irgendwann kann man aber keinen mehr weglassen – dann ist die Menge linear unabhängig (d.h. die Vektoren in der Menge sind linear unabhängig) und damit eine Basis.
Für unendlichdimensionale Vektorräume sieht das ganze anders aus. Wie soll z.B. eine Basis des Vektorraums aller auf R stetigen Funktionen aussehen? Angeben kann man die wohl nicht, aber kann man wenigstens davon ausgehen, dass es eine gibt?

Hier kommt jetzt das Lemma ins Spiel:

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