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Drei Beispiele

Drei Beispiele

In dem obigen Beispiel mit \(L=\IQ(a,b),~a=\sqrt{1 + \sqrt{2}},~b=i \sqrt{\sqrt{2}-1}\) müssen wir zunächst einmal die \(\IQ\)-Homomorphismen \(\tau : \IQ(a) \to L\) bestimmen, die also bijektiv den Nullstellen von \(T^4-2 \, T^2-1\) in \(L\) entsprechen. Die Nullstellen sind \(\pm a,\pm b\), und es gibt entsprechend vier \(\IQ\)-Homomorphismen, die wir mit \(\tau_{\pm a},\tau_{\pm b}\) bezeichnen. Als nächstes müssen wir das Minimalpolynom von \(b\) über \(\IQ(a)\) bestimmen. Nachdem wir bereits erkannt haben, dass \(a^2+b^2=2\) bzw. \(b^2+(a^2-2)=0\) gilt, sehen wir, dass das Minimalpolynom höchstens Grad \(2\) hat. Aber es kann nicht Grad \(1\) haben, denn dann folgte \(b \in \IQ(a) \subseteq \IR\), Widerspruch zu \(b \notin \IR\). Das Minimalpolynom lautet daher \(f=T^2+(a^2-2) \in \IQ(a)[T].\) Die Fortsetzungen von \(\tau_{\pm a} : \IQ(a) \to L\) auf \(L\) entsprechen bijektiv den Nullstellen von \(f^{\tau_{\pm a}} = T^2+(a^2-2) \in L[T]\) in \(L\), und das sind \(\pm b\). Die Fortsetzungen von \(\tau_{\pm b} : \IQ(a) \to L\) auf \(L\) entsprechen bijektiv den Nullstellen von \(f^{\tau_{\pm b}} = T^2+(b^2-2) \in L[T]\) in \(L\), und das sind \(\pm a\). Wir haben damit sämtliche \(\IQ\)-Homomorphismen \(L \to L\) bestimmt: Es gibt vier \(\IQ\)-Homomorphismen, die durch \(a \mapsto \pm a,~b \mapsto \pm b\) charakterisiert sind, wobei hier die Vorzeichen unabhängig voneinander gewählt werden können. Außerdem gibt es vier \(\IQ\)-Homomorphismen, die durch \(a \mapsto \pm b,~b \mapsto \pm a\) charakterisiert sind, wobei hier die Vorzeichen ebenfalls unabhängig voneinander gewählt werden können. Schauen wir uns ein etwas einfacheres Beispiel an: Es sei \(L=\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3}).\) Die \(\IQ\)-Homomorphismen \(\IQ(\sqrt{2}) \to L\) entsprechen bijektiv den Nullstellen von \(T^2-2\) in \(L\), die durch \(\pm \sqrt{2}\) gegeben sind. Das Minimalpolynom von \(\sqrt{3}\) über \(\IQ(\sqrt{2})\) ist \(T^2-3\), weil ansonsten \(\sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2})\) folgen würde, was man rechnerisch widerlegen kann. Das Polynom ändert sich also gar nicht beim Übergang von \(\IQ\) zu \(\IQ(\sqrt{2})\). Dieser glückliche Umstand macht es besonders einfach, die Fortsetzungen der \(\IQ\)-Homomorphismen zu bestimmen. Unabhängig von dem gegebenen Homomorphismus \(\IQ(\sqrt{2}) \to L\) müssen wir nur die Nullstellen von \(T^2-3\) in \(L\) bestimmen, und die sind \(\pm \sqrt{3}\). Es gibt also genau vier \(\IQ\)-Homomorphismen \(L \to L\), nämlich \(\sqrt{2} \mapsto \pm \sqrt{2},~\sqrt{3} \mapsto \pm \sqrt{3},\) wobei hier die Vorzeichen unabhängig voneinander gewählt werden können. Übrigens gilt eine ähnliche Aussage ganz allgemein für \(\IQ(\sqrt{u_1},\dotsc,\sqrt{u_n})\), wenn die \(u_1,\dotsc,u_n\) zueinander paarweise teilerfremde quadratfreie ganze Zahlen \(\neq 0,1\) sind. Aber der Beweis dafür ist nicht ganz so trivial, und wir wollen uns hier nur mit einfachen Beispielen befassen. Wir betrachten schließlich noch das Beispiel \(L=\IQ(\zeta_3,\sqrt[3]{2}),\) den Zerfällungskörper von \(T^3-2 \in \IQ[T]\). Hierbei bezeichnet \(\zeta_3\) eine primitive dritte Einheitswurzel. Das Minimalpolynom von \(\zeta_3\) über \(\IQ\) ist \(T^2+T+1\) mit den Nullstellen \(\zeta_3,\zeta_3^2\). Jetzt müssten wir das Minimalpolynom von \(\sqrt[3]{2}\) über \(\IQ(\zeta_3)\) bestimmen. Es ist hier allerdings einfacher, die Reihenfolge umzudrehen: Wir starten mit \(\IQ(\sqrt[3]{2})\) über \(\IQ\) und schauen uns dann die Fortsetzungen an. Das Minimalpolynom von \(\sqrt[3]{2}\) über \(\IQ\) ist \(T^3-2 \in \IQ[T]\). Die Nullstellen in \(L\) sind \(\sqrt[3]{2},~\zeta_3 \sqrt[3]{2},~\zeta_3^2 \sqrt[3]{2}.\) Das Minimalpolynom von \(\zeta_3\) über \(\IQ(\sqrt[3]{2})\) ist \(T^2+T+1\), also genau wie über \(\IQ\), denn ansonsten folgte \(\zeta_3 \in \IQ(\sqrt[3]{2}) \subseteq \IR\), Widerspruch. Es gibt also drei \(\IQ\)-Homomorphismen \(\IQ(\sqrt[3]{2}) \to L,\) und jeder davon besitzt zwei Fortsetzungen zu einem \(\IQ\)-Homomorphismus \(L \to L\). Die Galoisgruppe \(\mathrm{Gal}(L/\IQ)\) hat also sechs Elemente. Sie sind gegeben durch \(\sqrt[3]{2} \mapsto \zeta_3^i \sqrt[3]{2},~\zeta_3 \mapsto \zeta_3^j\) mit \(i=0,1,2,~j=1,2.\)
 
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