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lösung für negative a
\(\usepackage{setspace}\)

3. Lösung für a<0

Dieser letzte Fall ist eigentlich schon im ersten Fall mit inbegriffen, es ergibt sich hier insbesondere als zu adjungierendes Element \sqrt{-1}=i. Im Zusammenhang mit der Potenzierung in der allgemeinen Darstellung der c_n läuft dies auf Winkelfunktionen hinaus. Wir setzen daher zunächst \displaystyle c_{n+1}=\frac{1}{2}\Bigl(c_n -\frac{\abs{a}}{c_n}\Bigr) und \displaystyle c_n=\sqrt{\abs{a}} \, \frac{\cos{2^nx}}{\sin{2^nx}}=\sqrt{\abs{a}} \,\cot{2^nx}. x wird nun ermittelt aus c_0, es ergibt sich \displaystyle \sin{x}=\sqrt{\frac{\abs{a}}{\abs{a}+c_0^2}} bzw. \displaystyle x=\arcsin{\sqrt{\frac{\abs{a}}{\abs{a}+c_0^2}}}. Das Verhalten dieser Folge ist im Gegensatz zu ihren "positiven" Partnern nicht vorhersehbar. Beispiel a=-3 und c_0=1: Damit ist x=\frac{\pi}{3}, also c_n=\sqrt{3} \, \cot{2^n\frac{\pi}{3}}. Wie gesagt, das Verhalten ist allein aus dieser Folge nicht vorhersehbar, setzt man dagegen die ersten n ein, erhält man für c=\{1,-1,1,-1,...\}, also die alternierende Folge. Soweit. Viel Freude trunx (Jens Koch)
 
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