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Die allgemeine Methode

Eine Beweisaufgabe fängt mit einer Liste von Daten und Voraussetzungen an, und schließt mit einer Behauptung ab. Der erste Schritt besteht darin, die dabei verwendeten mathematischen Begriffe zu verstehen. Wenn man sich nicht mehr an die Bedeutungen bzw. Definitionen erinnert, muss man diese im Skript oder bei Wikipedia nachschlagen. Wenn bereits hier Verständnisprobleme auftreten, müssen noch grundlegendere Begriffe sowie die einfachsten Grundlagen der Logik wiederholt werden, bevor die Aufgabe bearbeitet wird. Es kann nützlich sein, sich auch noch einmal allgemein mit den relevanten Begriffen zu beschäftigen, weil in der Aufgabe voraussichtlich auch Eigenschaften verwendet werden, die bereits in der Vorlesung behandelt worden sind. Nach dieser Wiederholung lassen sich die Voraussetzungen und die Behauptung ausführlicher gemäß der Definitionen ausschreiben. Man entwickelt ein Verständnis dafür, worum es eigentlich geht. Zur besseren Übersicht kann man die Objekte bei Bedarf in einer Skizze anordnen. Oftmals muss man, um die Behauptung zu zeigen, gemäß der Definitionen ein paar Daten und/oder Gleichungen vorgeben (z.B. "Sei \(\lambda_1 f(v_1) + \cdots + \lambda_n f(v_n)=0\)" oder "Sei \(\varepsilon>0\)"). Mit diesen kann man dann die Voraussetzungen "füttern", wobei oftmals nur eine mögliche Wahl vorhanden ist. Damit das möglich ist, muss man eventuell die anderen Voraussetzungen benutzen, oder Hilfsaussagen, die bereits in der Vorlesung zum Thema behandelt worden sind. Was dabei herauskommt, sind weitere Aussagen, die entweder in Kombination direkt zur Behauptung führen, oder aber man muss das Spiel von vorne beginnen, ist aber der Behauptung einen Schritt näher gekommen. Um die Orientierung zu behalten und zielführend zu arbeiten, kann man sich immer wieder in Erinnerung rufen, was die Behauptung war, und was man bereits an bewiesenen Aussagen gesammelt hat. Letztere kann man auch durchnummerieren und so schnell wiederfinden. Hierbei hilft auch eine Rückwärtslogik: Um \(Z\) zu beweisen, muss man wohl \(Y\) beweisen. Und um \(Y\) zu beweisen, muss man wohl \(X\) beweisen. Also kümmert man sich erst einmal um \(X\). Man nähert sich dem Ziel also sowohl "von vorne" als auch "von hinten". Es wird umzingelt. Wenn man am Ende des Beweises eine Voraussetzung gar nicht genutzt hat, dann hat man vermutlich einen Fehler gemacht und sollte den Beweis noch einmal überprüfen. Denn Voraussetzungen stehen normalerweise nicht ohne Grund in der Aufgabenstellung. Oftmals sind sie, zumindest in abgeschwächter Form, notwendig, damit die zu beweisende Aussage gilt. Man sollte vielmehr so an die Aufgabe herangehen: Was kann ich mit den mir zur Verfügung gestellten Voraussetzungen anfangen? Wenn ich an einem Punkt im Beweis bin und nicht weiterkomme, welche Voraussetzung habe ich bisher noch nicht genutzt? Wenn man den Beweis am Ende gefunden hat, schreibt man ihn in Kurzform auf und entfernt dabei jede Form von Prosa. Auch die Definitionen müssen nicht mehr allgemein wiederholt werden. Die Argumente müssen hier in einer nachvollziehbaren Reihenfolge aufgeführt werden. Übrigens gehört bei Übungszetteln in der Regel nur diese Kurzform in die Abgabe. Tendenziell funktioniert diese vorgestellte Methode eher bei einfachen algebraischen Beweisen als bei analytischen Beweisen. In der Regel braucht es in der Analysis mehr Kreativität.
 
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