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Neuer Abschnitt in Lösung der quadratischen Gleichung mi

Eine quadratische Gleichung z^2+pz+q=0 mit komplexen Koeffizienten p und q lässt sich, wie im reellen Fall, mittels quadratischer Ergänzung, das ist \displaystyle z^2 + 2\frac{p}{2}z + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = -q +\left(\frac{p}{2}\right)^2 , auf die Form \displaystyle \left(z + \frac{p}{2} \right)^2 = \frac{p^2}{4}-q bringen. Ist dabei die rechte Seite negativ oder komplex, so ist die Standardmethode der Weg über die Polardarstellung. Wählt man diesen Rechenweg, muss für die rechte Seite das Argument einer komplexen Zahl ermittelt werden. Real- und Imaginärteil eines Ergebnisses enthielten demnach im Allgemeinen trigonometrische Ausdrücke mit Tangens-, Sinus- und Kosinusfunktionen, die unter Umständen gar nicht oder nur aufwendig weiter vereinfacht werden können bzw. nur numerisch bestimmt werden können. Günstig wäre also eine Ergebnisdarstellung in Form von Bruch- bzw. Wurzelausdrucken, wie sie die Lösungsformel für die quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten liefert; auch bekannt als pq-Formel oder Mitternachtsformel, das ist %\scriptstyle x^2+px+q=0 \Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q} ~\text{ falls }~ \frac{p^2}{4}-q \geq 0 . Der Weg über die Polardarstellung soll also im Folgenden nicht betrachtet werden, zum Zwecke der Auffindung einer Lösungsformel, ähnlich wie im reellen Fall.
 
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