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quadratisch
\(\usepackage{setspace}\)

Berechnung der Quadratwurzel

Von der Optik und vom Platz her ähnelt das schriftliche Wurzelziehen der schriftlichen Division. Allerdings werden hier die Reste immer grösser und unhandlicher, s.d. eine Strukturierung dieser Zahlen von Nöten ist. Wie gesagt, erfolgt die Erläuterung des Wurzelziehens an einem Beispiel - wir berechnen \(\sqrt{2357}\). Zunächst wird die zu radizierende Zahl ab dem (wie hier möglicherweise unsichtbaren) Komma einmal nach links fortschreitend in Zweierblöcke abgeteilt, sollte es Nachkommastellen geben, dann werden vom Komma ausgehend auch diese nach rechts in Zweierblöcke aufgeteilt: \(\sqrt{23'57}\). Zum am weitesten links stehenden Block, der auch nur aus einer einzigen Ziffer bestehen kann (bei uns ist es die \(23\)), wird nun die grösstmögliche Quadratzahl gesucht, die kleiner ist als der Block (bei uns \(16\)) und mit einem Minuszeichen versehen unter den Block, die Wurzel daraus wird rechts neben ein Gleichheitszeichen geschrieben, also: \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = \color{red}{4} \\ \color{red}{-16} \end{array}\) Unter den Subtrahenden wird nun ein Strich gezogen, die Differenz darunter geschrieben und neben die Differenz der nächste Zweierblock. Gibt es keinen mehr, dann werden zwei Nullen daneben geschrieben. Wir haben jetzt also \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 4 \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 \color{red}{5|7} \end{array}\) Vor die letzte Ziffer kommt noch ein Trennungsstrich, die Zahl davor (bei uns also \(75\)) dient im nächsten Schritt zur Abschätzung der nächsten Ergebnisziffer. Dazu verdoppeln wir das bisherige Ergebnis und schreiben es nach einem Divisionszeichen auf die gleiche Zeile: \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 4 \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 5|7 : 8 (\color{red}{2\cdot4}) \end{array}\) Wir müssten jetzt also \(75:8\) abschätzen. Da die nächste Zahl zwingend einstellig sein muss, was bei der Abschätzung ja nicht immer der Fall ist, ist es wichtig den bzw. die nächsten Schritte zu kennen. Dazu schauen wir uns nochmal die binomische Formel an, die wir etwas umstellen. Es ist \((a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 =a^2 +(2a+b)b\). Dabei stellt der Term \(2a\) bei uns die \(8\) dar, \(b\) wäre die nächste Ergebnisziffer. Enthalten ist in dem ganzen aber noch ein Trick unter insgeheimer Verwendung des dekadischen Positionssystems. Denn eigentlich wird das Ergebnis irgendetwas um die \(40\) sein, das Doppelte mithin \(80\), wenn wir (das noch unbekannte) \(b\) dazu addieren, was wir ja müssen, erhalten wir also \(80+b\) oder \(8b\). Sprich, eigentlich ist die ganze Zahl unter dem Strich (bei uns also \(757\)) durch \(2a+b\) zu dividieren und es muss \(b\) dabei heraus kommen. Bei uns wäre in einer ersten Abschätzung \(b\approx 75:8 \approx 9\), aber \(89 \cdot 9>757\). Wir wählen also ein kleineres \(b\), konkret \(b=8\). Sind die abgeschätzten \(b\) dagegen klein, können sie meist direkt benutzt werden. Wir schreiben jetzt b (bei uns also \(8\)) einmal als neue Ergebnisziffer und dann neben die Abschätzung (\(2a\)) (beides rot) und haben jetzt: \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 4\color{red}{8} \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 5|7 : 8\color{red}{8} \end{array}\) Das Ergebnis von \((2a+b)\cdot b\) (bei uns von \(88\cdot 8=704\)) schreiben wir erneut mit einem vorangestellten Minuszeichen unter den ehemaligen Rest: \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 48 \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 5|7 : 88 \\ \hspace{0.25cm} \underline{-704} \end{array}\) Jetzt geht das Spiel mit Differenzbildung, Herunterholen des nächsten Zweierblocks, bei Überschreitung des Kommas analog zur schriftlichen Division die Kommasetzung (wäre bei uns der Fall), Abtrennung der letzten Ziffer für die erste Abschätzung, Verdopplung des Ergebnisses, Anfügen des neuen \(b\) sowohl als neue Ergebnisziffer als auch in der Abschätzungsreihe wieder von vorne los. Immer und immer wieder bis zum Ergebnis oder zur gewünschten Genauigkeit. Wir hätten also \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 48,5 \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 5|7 : 88 \\ \hspace{0.25cm} \underline{-704} \\ \hspace{0.75cm} 530|0 : 965 \end{array}\) wobei wir \(b=5\) durch \(530:96\) (\(96\) ist das Doppelte von \(48\)) abgeschätzt und sowohl oben dem Ergebnis wie der \(96\) angefügt haben. Weiter würde es wie folgt gehen (bitte nachrechnen): \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 48,548 \dotsc \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 5|7 : 88 \\ \hspace{0.25cm} \underline{-704} \\ \hspace{0.75cm} 530|0 : 965 \\ \hspace{0.5cm} \underline{-4825} \\ \hspace{1cm} 4750|0 : 9704 \\ \hspace{0.75cm} \underline{-38816} \\ \hspace{1.25cm} 86840|0 : 97088 \\ \hspace{1.25cm} \cdots \end{array}\) Soweit die Berechnung der Quadratwurzel.
 
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