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| kubisches Wurzelziehen |
\(\usepackage{setspace}\)
Berechnung der Kubikwurzel
Die Kubikwurzel wird ganz ähnlich wie die Quadratwurzel berechnet, allerdings ist der kubische Rest \(3a^2b+3ab^2+b^3=(3a(a+b)+b^2)b\) deutlich komplizierter strukturiert, was sich dann auch im Verfahren nieder schlägt. Auch hier erläutern wir es an einem Beispiel, wir berechnen \(\sqrt[3]{73067}\).
Analog zum quadratischen Wurzelziehen wird der Radikand vom (mitunter unsichtbaren) Komma aus nach rechts und links in Dreierblöcke abgeteilt. Verallgemeinernd kann man sagen, dass die Radikanden n-ter Wurzeln in n-Blöcke geteilt werden müssen.
\(\sqrt[3]{73'067}\)
Der Block ganz links (bei uns 73) dient zur Ermittlung der ersten Ziffer der Wurzel. Es muss die größtmögliche Kubikzahl, die kleiner ist als der fragliche Zahlenblock gefunden werden (bei uns 64), diese wird mit einem Minuszeichen versehen unter den Anfangsblock für die spätere Subtraktion geschrieben, rechts neben die Wurzel kommt ein Gleichheitszeichen und die Kubikwurzel aus dieser Kubikzahl.
Nach der Subtraktion wird der nächste Dreierblock (bei uns 067) herunter geholt und die letzten beiden Ziffern vorerst abgetrennt. Es verbleibt eine Zahl (bei uns 90), die der Abschätzung der nächsten Ergebnisziffer dient.
\(\begin{array}{l}
\sqrt[3]{73'067} = \color{red}{4} \\
\hspace{0.05cm}\underline{\color{red}{-64}} \\
\hspace{0.5cm} \color{red}{90|67}
\end{array}\)
Soweit erstmal alles wie gehabt.
Die Ermittlung der nächsten Ergebnisziffer erfolgt in einer mehrstufigen Nebenrechnung. Die erste Stufe ist die Berechnung von \(3a^2\). Auch wenn dies, zumindest anfänglich, im Kopf berechenbar ist, empfehle ich dennoch von Beginn an folgenden Aufbau der Rechenoperationen:
\(\begin{array}{l}
\underline{a\cdot 3} \\
\hspace{0.25cm}\underline{3a\cdot a}\color{red}{b}
\end{array}\)
Dabei ist \(b\) die nächste, noch unbekannte Ergebnisziffer, ihr Platz wird auf diese Weise freigehalten.
Wir erhalten \(3a^2=48\), d.h. die erste Abschätzung lautet \(b\approx90:48\approx1\). Je größer diese erste Abschätzung ist, desto mehr muss darauf geachtet werden, dass \(b\) sehr wahrscheinlich um Eins oder Zwei kleiner ist.
\(b\) wird nun an die Leerstelle gesetzt und es wird \(3a\cdot ab\), das eigentlich \(3a(a+b)\) bedeutet, berechnet. Da ausserdem für den kubischen Rest noch \(b^2\) addiert werden muss, u.z. an letzter Stelle, kommt dies noch als letzte Additionszeile dazu. Wir nutzen hier also wiederum die Vorteile des Positionssystems. Konkret
\(\begin{array}{l}
\underline{4\cdot 3} \\
\hspace{0.25cm} \underline{12\cdot 4\color{red}{1}} \\
\hspace{0.75cm}48\\
\hspace{0.9cm}12\\
\underline{\hspace{1.3cm}\color{red}{1}}\\
\hspace{0.75cm}4921
\end{array}\)
Diese Zahl kommt nun als Divisor neben den Rest in der Hauptrechnung, das ermittelte \(b\) als nächste Ergebnisziffer nach oben.
\(\begin{array}{l}
\sqrt[3]{73'067} = 4 \color{red}{1}\\
\hspace{0.05cm}\underline{-64} \\
\hspace{0.5cm} 90|67 \color{red}{: 4921}
\end{array}\)
Jetzt wird wieder die Differenz gebildet, der nächste Dreierblock herunter geholt (gibt es keinen, dann drei Nullen), die letzten beiden Ziffern abgetrennt, ggf. das Komma gesetzt (wie jetzt bei uns), und erneut die nächste Ergebnisziffer ermittelt. Zunächst also in der Hauptrechnung
\(\begin{array}{l}
\sqrt[3]{73'067} = 41\color{red}{,} \\
\hspace{0.05cm}\underline{-64} \\
\hspace{0.5cm} 90|67 : 4921 \\
\hspace{0.25cm} \underline{-4921} \\
\hspace{0.55cm} \color{red}{41460|00}
\end{array}\)
Die Nebenrechnung sieht zunächst wie folgt aus:
\(\begin{array}{l}
\underline{41\cdot 3} \\
\hspace{0.25cm} \underline{123 \cdot 41} \\
\hspace{0.7cm} 492 \\
\underline{\hspace{0.85cm} 123} \\
\hspace{0.7cm} 5043
\end{array}\)
Die Abschätzung der nächsten Ergebnisziffer \(b\) erfolgt über die Rechnung \(41460:5043\approx 8\). Mit dieser wird die Nebenrechnung wie gehabt zu Ende geführt.
\(\begin{array}{l}
\underline{41\cdot 3} \\
\hspace{0.25cm} \underline{123 \cdot 41} \color{red}{8}\\
\hspace{0.7cm} 492 \\
\underline{\hspace{0.85cm} 123} \\
\hspace{0.7cm} 5043\\
\hspace{1.05cm} \color{red}{984} \hspace{0.65cm} (=123\cdot8) \\
\underline{\hspace{1.4cm} \color{red}{64}} \hspace{0.5cm} (=8^2) \\
\hspace{0.7cm} 514204
\end{array}\)
Mit diesen Ergebnissen (also \(b=8\) und 514204) wird jetzt die Hauptrechnung weiter geführt, also der kubische Rest aus diesen beiden Werten durch Multiplikation ermittelt.
\(\begin{array}{l}
\sqrt[3]{73'067} = 41,\color{red}{8} \\
\hspace{0.05cm}\underline{-64} \\
\hspace{0.5cm} 90|67 : 4921 \\
\hspace{0.25cm} \underline{-4921} \\
\hspace{0.55cm} 41460|00 : \color{red}{514204}\\
\hspace{0.3cm} \underline{-\color{red}{4113632}}\\
\hspace{0.95cm} 323680|00
\end{array}\)
Diese Rechnung kann nun immer weiter fortgeführt werden bis zur gewünschten Genauigkeit. |
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