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Berechnung der mittleren Fortpflanzungsgeschwindigkeit

5. Berechnung der mittleren Fortpflanzungsgeschwindigkeit

Um die Fortpflanzungsgeschwindigkeit zu berechnen, müssen wir die Dauer des Fallvorgangs $T$ bestimmen. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist dann einfach der Abstand $a$ geteilt durch die Dauer $T$. Wir haben die Start-Winkelgeschwindigkeit des nullten Steins berechnet. Die Gesamtenergie in der Kette der umgefallenen Steine bleibt während des Fallens konstant und sei $E$. Dann ist: $$E=\frac12J\omega_{0n}^2\sigma_2+E_{\mathrm{pot}}(0)=\text{konstant}$$Zu jedem beliebigen Zeitpunkt danach gilt: $$E=\frac12J\left(\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}\right)^2\Sigma_2(\varphi)+E_{\mathrm{pot}}(\varphi)$$wobei hier mit $\varphi$ natürlich eigentlich $\varphi_0$, also die Winkelgeschwindigkeit des nullten Steins gemeint ist. Daraus folgt: $$\frac{2\left(E-E_{\mathrm{pot}}(\varphi)\right)}{J\Sigma_2(\varphi)}=\left(\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}\right)^2$$und letztlich $$T=\intop_0^{\arcsin\frac{a-b}{h}}\sqrt{\frac{J\Sigma_2(\varphi)}{2\left(E-E_{\mathrm{pot}}(\varphi)\right)}}\;\mathrm d\varphi$$
 
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