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Grundlagen

Grundlagen

Wir setzen hier Grundbegriffe über Erweiterungen von Körpern voraus, insbesondere was endliche und algebraische Erweiterungen $L/K$ sind, was der Grad einer Erweiterung ist, den Gradsatz, was $K$-Homomorphismen zwischen Erweiterungen von $K$ sind, wie Minimalpolynome definiert sind, dass $K(a)=K[a] \cong K[T]/\langle f \rangle$ für das Minimalpolynom $f$ von $a \in L$ über $K$ gilt, was der algebraische Abschluss eines Körpers ist und dass er immer existiert. Alles andere wird in diesem Artikel erklärt. LemmaSeien $L/K$ und $M/K$ zwei Erweiterungen. Sei $a \in L$ algebraisch über $K$ mit Minimalpolynom $f \in K[T]$. Dann gibt es eine Bijektion zwischen den $K$-Homomorphismen $K(a) \longrightarrow M$ und den Elementen $m \in M$ mit $f(m)=0$. Einem $K$-Homomorphismus $\alpha : K(a) \longrightarrow M$ wird hierbei das Element $\alpha(a) \in M$ zugeordnet. Beweis. Die $K$-Homomorphismen $K[T]/\langle f \rangle \cong K(a) \longrightarrow M$ entsprechen wegen der universellen Eigenschaft des Quotientenringes den $K$-Homomorphismen $K[T] \longrightarrow M$, die $f$ im Kern enthalten. Diese haben wegen der universellen Eigenschaft des Polynomringes die Form $\mathrm{ev}_m : f \mapsto f(m)$ mit Elementen $m \in M$, und die Kernbedingung besagt gerade $f(m)=0$. $\checkmark$ LemmaSei $L/K$ eine algebraische Erweiterung. Sei $M$ ein algebraisch abgeschlossener Körper (das heißt, jedes nicht-konstante Polynom über $M$ besitzt eine Nullstelle in $M$). Dann besitzt jeder Homomorphismus $K \longrightarrow M$ eine Fortsetzung $L \longrightarrow M$. Beweis. Wir betrachten die Menge der Fortsetzungen $E \longrightarrow M$ auf Zwischenkörper $E$ von $L/K$ und definieren eine partielle Ordnung auf ihr: Es sei $(E \longrightarrow M) \leq (E' \longrightarrow M)$, wenn $E \subseteq E'$ und $E \longrightarrow M$ die Einschränkung von $E' \longrightarrow M$ ist. Man sieht leicht, dass das Zornsche Lemma anwendbar ist (jede Kette $\{E_i \longrightarrow M\}$ hat eine obere Schranke, nämlich die Fortsetzung $\bigcup_i E_i \longrightarrow M$) und daher ein maximales Element $E \longrightarrow M$ existiert. Mittels $E \longrightarrow M$ können wir $M$ als Erweiterung von $E$ ansehen. Für $a \in L$ sei $f \in E[T]$ das Minimalpolynom von $a$ über $E$. Dieses hat in $M$ eine Nullstelle, weil $M$ algebraisch abgeschlossen ist. Wegen können wir damit $E \longrightarrow M$ auf $E(a)$ fortsetzen. Die Maximalität von $E \longrightarrow M$ liefert nun aber $E(a)=E$ und damit $a \in E$. Also ist $L=E$ und wir sind fertig. $\checkmark$ Wir werden, was den Hauptsatz der Galoistheorie angeht, lediglich für endliche Erweiterungen $L/K$ benötigen. In diesem Fall braucht man natürlich das Zornsche Lemma nicht zu verwenden; eine Induktion nach dem Grad $[L:K]$ ist ausreichend. LemmaSei $L/K$ eine algebraische Erweiterung. Dann gilt $\mathrm{Hom}_K(L,L) = \mathrm{Aut}_K(L)$. Beweis. Sei $\varphi : L \longrightarrow L$ ein $K$-Homomorphismus. Sicherlich ist $\varphi$ injektiv. Wir müssen zeigen, dass $\varphi$ bijektiv ist. Sei $a \in L$. Sei $N$ die Menge der Nullstellen des Minimalpolynoms $f$ von $a$ in $L$. Es gilt $\varphi(N) \subseteq N$, denn für $n \in N$ folgt aus $f(n)=0$ auch $f(\varphi(n))=\varphi(f(n))=\varphi(0)=0$. Also beschränkt sich $\varphi$ zu einer injektiven Abbildung $N \longrightarrow N$. Weil $N$ endlich ist, muss diese Abbildung daher bijektiv sein. Insbesondere liegt $a$ in ihrem Bild. $\checkmark$ LemmaSei $L/K$ eine endliche Erweiterung. Sei $M/K$ eine beliebige Erweiterung. Dann hat $\mathrm{Hom}_K(L,M)$ höchstens $[L:K]$ Elemente. Beweis. Sei allgemeiner $M$ ein Körper und $K \longrightarrow M$ ein Homomorphismus. Wir müssen zeigen, dass er höchstens $[L:K]$ Fortsetzungen auf $L$ besitzt. Wir machen eine Induktion nach $[L:K]$, wobei der Fall $[L:K]=1$ bzw. $L=K$ trivial ist. Nun sei $[L:K]>1$ und wähle ein $a \in L \setminus K$. Wegen gibt es höchstens $[K(a):K]$ Fortsetzungen von $K \longrightarrow M$ auf $K(a)$, weil das Minimalpolynom von $a$ über $K$ als Grad $[K(a):K]$ besitzt und damit in $M$ höchstens $[K(a):K]$ Nullstellen hat. Es gilt $[L:K(a)] < [L:K]$. Eine Fortsetzung $K(a) \longrightarrow M$ hat also nach Induktionsannahme höchstens $[L:K(a)]$ Fortsetzungen auf $L$. \begin{tikzcd} K \ar{r} \ar{dr} & K(a) \ar[dashed]{d} \ar{r} & L \ar[dashed]{dl} \\ & M & \end{tikzcd} Es gibt insgesamt also höchstens $[L:K(a)] \cdot [K(a):K] = [L:K]$ Fortsetzungen von $K \longrightarrow M$ auf $L$. $\checkmark$
 
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