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Hauptsatz

Der Hauptsatz der Galoistheorie

Wir können die Ergebnisse der vorigen Abschnitte nun zusammenführen: Eine Galoiserweiterung ist definiert als eine normale separable Erweiterung. SatzSei $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung. Dann ist $\mathrm{Aut}_K(L)$ eine endliche Gruppe der Ordnung $[L:K]$. Sie wird die Galoisgruppe von $L/K$ genannt. Beweis. Weil $L/K$ separabel ist, hat $\mathrm{Hom}_K(L,\overline{K})$ nach genau $[L:K]$ Elemente. Weil $L/K$ normal ist, gilt $\mathrm{Aut}_K(L) \cong \mathrm{Hom}_K(L,\overline{K})$. $\checkmark$ Wie man die Galoisgruppe in einfachen Fällen berechnet, erfahrt ihr hier. Satz[Hauptsatz der Galoistheorie] Sei $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung. Dann liefern $E \mapsto \mathrm{Aut}_E(L)$ und $H \mapsto L^H$ zueinander inverse Bijektionen $\bigl\{\,\text{Zwischenkörper von } L/K\,\bigr\} \cong \bigl\{\,\text{Untergruppen von } \mathrm{Aut}_K(L)\,\bigr\}.$ Beweis. Für einen Zwischenkörper $E$ von $L/K$ gilt $E = L^{\mathrm{Aut}_E(L)}$ wegen . Für eine Untergruppe $H$ von $\mathrm{Aut}_K(L)$ gilt $H = \mathrm{Aut}_{L^H}(L)$ wegen , welchen wir anwenden können, weil $H$ wegen endlich ist. $\checkmark$ Damit ist der Hauptsatz bereits bewiesen. Wir möchten hier aber noch ein paar Nebenresultate beweisen. Offenbar gelten die Implikationen $E \subseteq E' \implies \mathrm{Aut}_{E'}(L) \subseteq \mathrm{Aut}_E(L),\\ H \subseteq H' \implies L^{H'} \subseteq L^H.$ Daher ist die Bijektion in genauer gesagt ein Anti-Isomorphismus partieller Ordnungen. Korollar Sei $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung. Dann gelten für Zwischenkörper $E,E'$ und Untergruppen $H,H'$ der Galoisgruppe die folgenden Beziehungen: $\mathrm{Aut}_{E \cap E'}(L) = \langle \mathrm{Aut}_E(L) , \mathrm{Aut}_{E'}(L) \rangle \\ \mathrm{Aut}_{E \cdot E'}(L) = \mathrm{Aut}_E(L) \cap \mathrm{Aut}_{E'}(L) \\ L^{H \cap H'} = L^{H} \cdot L^{H'} \\ L^{\langle H,H' \rangle} = L^H \cap L^{H'}$ Beweis. Die übliche Definition eines Supremums als kleinste obere Schranke funktioniert in jeder partiellen Ordnung. Analoges gilt für Infima. In der partiellen Ordnung der Untergruppen einer Gruppe gilt $\sup(H,H') = \langle H,H' \rangle$ und $\inf(H,H') = H \cap H'$. In der partiellen Ordnung der Zwischenkörper einer Erweiterung gilt $\sup(E,E') = E \cdot E'$ (das Kompositum) und $\inf(E,E') = E \cap E'$. Ein Anti-Isomorphismus partieller Ordnungen wandelt Suprema in Infima (und analog Infima in Suprema) um. Die Behauptung folgt also aus . $\checkmark$ Satz In der Situation von ist $E/K$ genau dann normal (und damit eine Galoiserweiterung), wenn $\mathrm{Aut}_E(L)$ eine normale Untergruppe (also ein Normalteiler) von $\mathrm{Aut}_K(L)$ ist. In diesem Fall ist $\mathrm{Aut}_K(L) / \mathrm{Aut}_E(L) \cong \mathrm{Aut}_K(E)$. Wir erhalten also eine Bijektion $\bigl\{\,\text{normale Zwischenkörper von } L/K\,\} \cong \bigl\{\,\text{normale Untergruppen von } \mathrm{Aut}_K(L)\,\bigr\}.$ Beweis. Sei $E/K$ normal. Die Abbildung $\mathrm{Hom}_K(L,\overline{K}) \longrightarrow \mathrm{Hom}_K(E,\overline{K})$, $\alpha \mapsto \alpha|_E$ ist surjektiv wegen . Sie identifiziert sich wegen der Normalität von $L/K$ und $E/K$ mit einer Abbildung $\mathrm{Aut}_K(L) \longrightarrow \mathrm{Aut}_K(E)$, die offenbar auch ein Homomorphismus von Gruppen ist. Der Kern ist $\mathrm{Aut}_E(L)$, sodass einerseits $\mathrm{Aut}_E(L)$ ein Normalteiler ist und wir andererseits den gewünschten Isomorphismus $\mathrm{Aut}_K(L)/\mathrm{Aut}_E(L) \cong \mathrm{Aut}_K(E)$ erhalten. Für die andere Richtung sei $H$ ein Normalteiler von $\mathrm{Aut}_K(L)$. Dann ist $L^H$ normal über $K$: Wähle zwei Homomorphismen $\alpha,\beta : L^H \longrightarrow \overline{K}$. Wähle mit Fortsetzungen $\alpha',\beta'$ auf $L$. Weil $L/K$ normal ist, ist $\alpha' = \beta' \circ\gamma$ für ein $\gamma : L \longrightarrow L$. Wir behaupten $\gamma(L^H) \subseteq L^H$. Sei dazu $a \in L^H$. Für $\delta \in H$ gilt zunächst $\gamma^{-1} \delta \gamma \in H$ (weil $H$ normal ist), also $(\gamma^{-1} \delta \gamma)(a)=a$ bzw. $\delta(\gamma(a))=\gamma(a)$. Dies zeigt $\gamma(a) \in L^H$. Aus $\gamma(L^H) \subseteq L^H$ folgt nun $\alpha(L^H) = \alpha'(L^H) = \beta'(\gamma(L^H)) \subseteq \beta'(L^H)=\beta(L^H)$, also $\alpha = \beta \circ \pi$ für ein $\pi : L^H \to L^H$. $\checkmark$ Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass man den Hauptsatz der Galoistheorie auf beliebige (nicht notwendig endliche) Galoiserweiterungen $L/K$ ausdehnen kann. Hierfür muss man $\mathrm{Aut}_K(L)$ mit einer Topologie versehen, der Krulltopologie. Man hat dann eine Bijektion zwischen Zwischenkörpern von $L/K$ und den (bezüglich der Topologie) abgeschlossenen Untergruppen von $\mathrm{Aut}_K(L)$. Man führt diese Korrespondenz tatsächlich auf den endlichen Fall zurück (siehe etwa "Galois theory for schemes" von Lenstra, wo auch der Zusammenhang zwischen Galoistheorie und Überlagerungstheorie erklärt wird). Darauf baut wiederum Grothendiecks Formulierung des Hauptsatzes auf: Es ist $\mathrm{Hom}_K(-,\overline{K})$ eine Anti-Äquivalenz von Kategorien zwischen der Kategorie der endlichen étalen $K$-Algebren und der Kategorie der endlichen Mengen mit einer stetigen Wirkung der absoluten Galoisgruppe $\mathrm{Aut}_K(K^s)$.
Danke an Saki17 fürs Korrekturlesen.
 
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