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Kommutative Algebra

Kommutative Algebra

Der kommutative Ring $\IZ$ ist im folgenden Sinne der "kleinste Ring" in der kommutativen Algebra: Für jeden kommutativen Ring $R$ gibt es einen (eindeutigen) Ringhomomorphismus $\IZ \to R$. Dieser induziert wiederum einen Vergissfunktor $\mathsf{Mod}_R \to \mathsf{Mod}_{\IZ} = \mathsf{Ab}$ (der die Skalarmultiplikation vergisst) und einen dazu linksadjungierten Funktor, die Skalarerweiterung $R \otimes_{\IZ} - : \mathsf{Mod}_{\IZ} \to \mathsf{Mod}_R$, die sogar ein symmetrisch monoidaler Funktor ist. Verschiedene Fragestellungen aus der algebraischen Geometrie haben zum Wunsch geführt, einen noch kleineren "Ring" zu finden, wofür man dann den Ringbegriff erweitern muss (mehr dazu am Ende). Diese Aufgabe erfüllt $\IF_1$ tatsächlich: es gibt genau einen "Ringhomomorphismus" $\IF_1 \to \IZ$. Wir können das hier konkret sehen anhand eines Vergissfunktors $\mathsf{Ab} = \mathsf{Mod}_{\IZ} \to \mathsf{Mod}_{\IF_1} = \mathsf{Vect}_{\IF_1}$, der einer abelsche Gruppe $A=(|A|,+,0)$ den zugrunde liegenden $\IF_1$-Vektorraum $(|A|,0)$ zuordnet (es wird also die Addition vergessen). Der dazu linksadjungierte Funktor $\IZ \otimes_{\IF_1} -$ lässt sich so beschreiben: Einen $\IF_1$-Vektorraum $(X,0)$ schicken wir auf die freie abelsche Gruppe $\bigl(\bigoplus_{x \in X} \IZ \cdot x \bigr) / \IZ \cdot 0 \cong \bigoplus_{x \in X \setminus \{0\}} \IZ \cdot x$. Dieser Funktor ist auch symmetrisch monoidal. Die monoidale Struktur von $\mathsf{Vect}_{\IF_1}$ macht es möglich, eine $\IF_1$-Algebra abstrakt zu definieren als ein Monoidobjekt in dieser monoidalen Kategorie. Konkret ist eine $\IF_1$-Algebra ein punktiertes Monid $(X,\cdot,1,0)$, also ein Monoid $(X,\cdot,1)$ zusammen mit einem Element $0 \in X$, sodass $0 \cdot x = 0$ und $x \cdot 0 = 0$ für alle $x \in X$ gilt (denn diese Gleichungen besagen gerade, dass $\cdot$ eine $\IF_1$-lineare Abbildung $(X,0) \otimes (X,0) \to (X,0)$ induziert). Die symmetrisch monoidale Struktur macht es zudem möglich, von kommutativen Monoidobjekten zu sprechen, was hier natürlich einfach kommutative punktierte Monoide sind. Das Einsobjekt trägt immer die Struktur eines kommutatives Monoidobjekts, was in unserem Fall bedeutet, dass $\IF_1$ als kommutative $\IF_1$-Algebra angesehen werden kann. Die Multiplikation ist offensichtlich. Die freie kommutative $\IF_1$-Algebra $\IF_1[T]$ auf einem Erzeuger besteht einfach aus $0,1,T,T^2,\dotsc$. Man kann im Übrigen die Grundlagen an kommutativer Algebra und algebraischer Geometrie von kommutativen $\IZ$-Algebren (also kommutativen Ringen) auf kommutative $\IF_1$-Algebren übertragen. So besteht etwa das Spektrum $\mathrm{Spec}(A)$ einer kommutativen $\IF_1$-Algebra $A$ aus den Primidealen, also Teilmengen $\mathfrak{p} \subseteq |A|$ mit den Eigenschaften $0 \in \mathfrak{p}$, $1 \notin \mathfrak{p}$, $x \cdot y \in \mathfrak{p} \iff x \in \mathfrak{p} \vee y \in \mathfrak{p}$. Die basis-offenen Mengen $D(f) = \{\mathfrak{p} : f \notin \mathfrak{p}\}$ identifizieren sich mit $\mathrm{Spec}(A[f^{-1}])$, wobei $A[f^{-1}]$ die Lokalisierung nach dem Element $f$ ist mit zugrunde liegender Menge $\{a/f^k : a \in A, k \in \IN\}$. Das Motto ist hier:
Man braucht keine Addition.
Daraus ergibt sich nun die Besonderheit (und Vereinfachung), dass jede nichttriviale kommutative $\IF_1$-Algebra $A$ lokal ist, also genau ein maximales Ideal besitzt, nämlich die Menge der Nichteinheiten. Das Spektrum von $\IF_1[T]$ etwa besteht aus dem Nullideal $\{0\}$ und dem maximalen Ideal $\langle T \rangle = \{T,T^2,\dotsc\}$.
 
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