Bearbeiten von: Abschnitt [Änderungshistorie]
  Zeilenumbrüche automatisch mache ich selbst mit HTML    

Ich möchte eine Mail an , nachdem mein Vorschlag bearbeitet ist.
  Nachricht zur Änderung:

Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
[Link zurück zum Artikelabschnitt]

Vorschau:
Neuer Abschnitt in Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Ar
\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Die erste Näherung: 12-Eck (k=2)

Archimedes findet zunächst ohne Aufwand \(u_{2} = 3 \cdot 2^{2-1} \sqrt{ 2 - 2\sqrt{1 - {(\frac{u_{2-1}}{3 \cdot 2^{2-1}})^2}}} \) \(u_{2} = 6 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \) Es könnte sein, dass Archimedes fit im Umgang mit geschachtelten Wurzeln war. Er findet also auch mit ein wenig Mühe diese Darstellung. \(u_{2} = 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \) Dem Tabellenbuch entnimmt Archimedes die entsprechenden Wurzeln. Für die zweite Darstellung hat er also bereits Näherungswerte. Nach unserer Annahme hat er z. B. auf 10 Nachkommastellen exakte Werte für Wurzeln aus natürlichen Zahlen und damit ergibt sich mit Hilfe der 2. Darstellung ohne großen Aufwand folgender Näherungswert für \(\pi\) \(\pi \approx 3,1058285412\) Für die geschachtelte Wurzel verwendet er die Heron-Methode und findet folgende Näherungsbrüche. Die Tabelle zeigt die "eklige" Entwicklung der Näherungsbrüche für \[ \sqrt{2 - \sqrt{3}} \] für verschiedene Genauigkeiten g und einige Zwischenschritte, die Archimedes bewältigen musste, z. B. die zweite Spalte mittels Tabellenbuch.
g\(2 - \sqrt{3} \approx ...\)Startwert \(x_n\)1. NBu_2 ~2. NBu_2 ~3. NBu_2 ~
1 0,3 0,5 \(\frac{11}{20}\) \(\frac{33}{10}\approx 3,3\) \(\frac{241}{440}\) \(\frac{723}{220} \approx 3,3\)\( \frac{106081}{192800}\)\( \frac{318243}{96400} \approx 3,3\)
2 0,270,5\(\frac{13}{25}\) \(\frac{78}{25}\approx 3,12\) \(\frac{1351}{2600}\) \(\frac{4053}{1300} \approx 3,12\)\(\frac{3650401}{7025200}\)\(\frac{10951203}{3512600} \approx 3,12\)
3 0,268 0,5\(\frac{259}{500}\) \(\frac{777}{250}\approx 3,108\) \(\frac{134081}{259000}\) \(\frac{402243}{129500} \approx 3,106\)\(\frac{35955422561}{69453958000}\)\(\frac{107866267683}{34726979000} \approx 3,106\)
4 0,26790,5\(\frac{5179}{10000}\) \(\frac{15537}{5000}\approx 3,1074\) \(\frac{53612041}{103580000}\) \(\frac{160836123}{51790000} \approx 3,1055\)\(\frac{5748500853745681}{11106270413560000}\)\(\frac{17245502561237043}{5553135206780000} \approx 3,1055 \)
Zum Vergleich: \(u_{2} = 6 \sqrt{2 - \sqrt{3}} = 3,1058285412302498...\) Und damit hatte Archimedes mit \( \pi \approx 3,1055\) die erste untere Schranke für \(\pi\). Nochmal die zweite Darstellung zum Vergleich: \(\pi \approx 3,1058285412\) Die Frage ist, wie weit Archimedes dieses Spiel getrieben hat, falls er den Weg über die Tabelle nahm. Ich denke, man erkennt schon beim 12-Eck den imensen Aufwand, der betrieben werden muss. Es lässt sich hier auch sehr schön erkennen, inwiefern der gewählte Startwert (der lediglich bequem gewählt wurde) Auswirkungen auf verschiedene Ansprüche der Genauigkeit hat. Inwieweit meine Werte mit denen von Archimedes übereinstimmten? Ich weiß es nicht. Es lässt sich erahnen, wie die Entwicklung der Tabelle weitergeht, falls wir g nach und nach erhöhen. Und ich möchte hier nochmal betonen, dass unser Ziel das 96-Eck ist! Uns fehlen also noch drei Schritte. Ich habe mir den Spass gemacht, oben gezeigte Tabelle handschriftlich zu berechnen bei einem gemütlichen Kaffee, wie er es evtl. auch gemacht hat. Sprich: Nur Blatt und Stift. :) Und Kaffee. Meine benötigte Zeit: (Experiment noch in Arbeit) (Mein Sohn braucht mich und hat natürlich Vorrang, deshalb konnte ich das Experiment nicht so durchführen, wie ich wollte, ich werde das nachreichen bei Gelegenheit. Ihr mögt es mir verzeihen.)
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]