Bearbeiten von: Abschnitt [Änderungshistorie]
  Zeilenumbrüche automatisch mache ich selbst mit HTML    

Ich möchte eine Mail an , nachdem mein Vorschlag bearbeitet ist.
  Nachricht zur Änderung:

Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
[Link zurück zum Artikelabschnitt]

Vorschau:
Neuer Abschnitt in Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Ar
\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Die zweite Näherung: 24-Eck (k=3)

Um das Fehlerverhalten vernünftig einschätzen zu können, treiben wir nun das gleiche Spielchen mit unserem bisher besten Näherungswert ( \(\pi \approx 3,1058\) )für das 24-Eck. Wir finden zunächst \(u_3 = 3 \cdot 2^2 \sqrt{2 - 2 \sqrt{1 - (3.1058/(3 \cdot 2^2))^2}} = 12 \sqrt{2 - 2 \sqrt{\frac{3358850159}{3600000000}}} \approx 12 \sqrt{2 - 2 \sqrt{\frac{9330}{10000}}} \) wobei wir im letzten Schritt die Genauigkeit von 4 Stellen ausnutzen. Für die innere Wurzel findet Archimedes nach drei mühesligen Schritten 4 korrekte Nachkommastellen (0,9659) mit dem Startwert 1. Ein routinierter Umgang mit Brüchen liefert einen freundlichen Ausdruck. \(u_3 \approx 12 \sqrt{2 - 2 \frac{9659}{10000}} = 12 \sqrt{\frac{341}{5000}} = \frac{12}{100}\sqrt{682} \) Archimedes hat es geschafft. Er kann nun in seinem Tabellenbuch die benötigte Wurzel nachschlagen. Ein "mal 12" und Kommaverschiebung bereiten keine Schwierigkeiten. Er hat seinen zweiten Näherungswert: \[ \pi \approx 3,1338 \] Man könnte sich aber auch Vorstellen, dass Archimedes in der Lage war, den exakten Wert von \(u_3\) zu berechnen. \[ u_3 = 12 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \] Mit viel Geduld erhält er folgenden Näherungswert: \[ \pi \approx 3.1326 \] Wir sehen, dass der 1. Wert eine schärfere untere Schranke ist. Aufgabe 2: Bestimme mit Hilfe des umbeschriebenen 24-Eck eine obere Schranke angenähert mittels Heron-Verfahren und einen exakten Wert mit Hilfe eines CAS und zeige so, dass seine angenäherte untere Schranke vernfünftig ist. "Vernünftig" heißt: Die Rundungsfehler spielen nicht gegen ihn. Ich möchte es an der Stelle erstmal mit dieser Variante belassen. Es ist deutlich geworden, welcher Aufwand bereits für 4 Nachkommastellen betrieben werden muss. Bevor wir fortfahren, möchte ich eine wichtige Sache nicht unter den Teppich kehren. Wirft man einen scharfen Blick auf die überlieferte untere Schranke fällt auf: Wie kann der Nenner < 100 sein, obwohl die Näherungsbrüche mittels Heron-Verfahren förmlich explodieren? Hinzu kommt die Regel "Wurzelziehen halbiert die Ziffern". Wie passt das zusammen? Meine Vermutung möchte ich an einem einfachen Beispiel erklären. Vielleicht war Archimedes auf der Suche nach einer leicht zu merkenden Näherung. Eine Näherung, etwa: \( \frac{11}{30} \) (man stelle sich diesen Bruch kompliziert vor) lässt sich, zwar mit Einbußen der Genauigkeit, nach unten mit \( \frac{1}{3} \) abschätzen. Es könnte also sein, dass der ursprüngliche Näherungswert etwa \(110/710\) anstatt \(10/71\) war. Der wahre Wert wird deutlich komplizierter sein. Wir wollen annäherend eine Idee davon bekommen, über welche Werte Archimedes tatsächlich verfügte. In der Tat sind deutlich kompliziertere Näherungswerte bekannt, die auf Archimedes zurück gehen. Wir gehen dazu nun den Weg nun umgekehrt.
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]