Bearbeiten von: Abschnitt [Änderungshistorie]
  Zeilenumbrüche automatisch mache ich selbst mit HTML    

Ich möchte eine Mail an , nachdem mein Vorschlag bearbeitet ist.
  Nachricht zur Änderung:

Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
[Link zurück zum Artikelabschnitt]

Vorschau:
Anwendungen
Zum Schluss noch einige Anwendungen. Einige arithmetisch-geometrische Mittel lassen sich über die Gammafunktion ausdrücken, hier einige Ergebnisse: (siehe [Wikipedia, "Particular values of the Gamma function"]): \(AGM(1,\sqrt{2}) = \dfrac{\pi}{\varpi}\) \(AGM(2, \sqrt{2 + \sqrt{3}}) = \dfrac{4 \cdot \pi_2}{\sqrt[4]{27} \cdot \pi_3}\) \(AGM(1+\sqrt{3}, \sqrt{8}) = \dfrac{\sqrt[12]{2^{27}} \cdot \pi_2}{\sqrt[4]{3 \cdot 4 \cdot \pi_{6}^{3} \cdot \sqrt[2]{3} \cdot \pi_3}}\) Das AGM ist also möglicherweise nichts anderes, als eine Beschreibung von Kombinationen der hyperelliptischen Konstanten. Bestimmte "singuläre Werte" des vollständigen elliptischen Integrals in der Normalform (und damit einige Bogenlängen für spezielle Ellipsenachsenverhältnisse) lassen sich auch bestimmen: (siehe [Wolfram Mathworld, "Elliptic Integral singular value"]) \(K(\dfrac{1}{\sqrt{2}}) = \dfrac{\varpi}{\sqrt{2}}\) \(K(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) = \dfrac{\sqrt{3 \sqrt{3}} \cdot \pi_3}{4}\) \(K((\sqrt{2} - 1)^2) = \dfrac{\varpi}{\sqrt{8}} + \dfrac{\varpi}{4}\) \(K(\dfrac{(\sqrt{3}-1) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt[4]{3})}{2}) = \sqrt{\dfrac{\sqrt{3}}{9} + \dfrac{1}{6}} \cdot \varpi\) \(K((\sqrt{2} + 1)^2 \cdot (\sqrt[4]{2}-1)^4) = \dfrac{(\sqrt[4]{2} + 1)^2 \cdot \varpi}{2^3}\) \(K(\dfrac{(\sqrt{10} - 2 \cdot \sqrt{2}) \cdot (3 - 2 \cdot \sqrt[4]{5})}{2}) = \dfrac{\sqrt{2}}{5} \cdot \varpi + \dfrac{1}{\sqrt{10}} \cdot \varpi\) Als letztes berechnen wir die Fläche bestimmter Superellipsen. Eine Superellipse ist für \(n \in \mathbb{N}\) und \(a,b > 0\) gegeben durch: \(C_n : \ \lvert \dfrac{x}{a} \lvert^{n} \ + \ \lvert \dfrac{y}{b} \lvert^{n} \ = 1\) Hier z.B. der "Squircle" (= Square + Circle) mit \(x^4 + y^4 = 1\) und Fläche \(\varpi \cdot r^2 \cdot \sqrt{2}\): Die Fläche ist durch die Gammafunktion ausdrückbar: \(A_{C_{n}} = 4 \cdot ab \cdot \dfrac{\Gamma(\dfrac{n+1}{n})^2}{\Gamma(\dfrac{n+2}{n})} = 4 \cdot ab \cdot \dfrac{1}{2n} \cdot \dfrac{\Gamma(\dfrac{1}{n})^2}{\Gamma(\dfrac{2}{n})}\) Für \(n = 2^{\nu}\) zum Beispiel, erhalten wir: \(A_{C_{2^{\nu}}} = 4 \cdot ab \cdot \dfrac{1}{2^{\nu + 1}} \cdot \dfrac{2^{\nu - 1} \cdot \pi_{2^{\nu}} \cdot \sqrt{2^{\nu - 1} \cdot \pi_{2^{\nu - 1} \cdot \sqrt{...}}}}{\sqrt{2^{\nu - 2} \cdot \pi_{2^{\nu - 1} \cdot \sqrt{...}}}}\) und damit: \(\forall \nu \in \mathbb{N}: \ A_{C_{2^{\nu}}} = \pi_{2^{\nu}} \cdot ab \cdot \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{...}}}}\) mit \((\nu - 1)\) geschachtelten Quadratwurzeln. 0 geschachtelte Quadratwurzeln sind als der Faktor 1 zu verstehen. Viele Apps auf dem Handy benutzen heutzutage statt quadratischen Icons übrigens Superellipsen, deren Ecken so schön abgerundet sind. Auch lassen sich die neuen Funktion \(arcs_n\) und ihre Umkehrfunktionen \(s_n\) prima für Stammfunktionen von einigen Integralen einsetzen. Dies wird ja mit \(arcsl\) und \(sl\) bereits getan, obwohl diese streng genommen keine "elementaren" Stammfunktionen sind. Die Definition dieser ist allerdings etwas willkürlich. Meine Hoffnung ist es, dass es möglich sein wird, noch viel mehr Stammfunktionen anzugeben, wenn genügend fleißige Leute mithelfen, allgemeine trigonometrische Identitäten, Additionsformeln, etc. zu finden. Es wartet auch sicherlich noch die ein oder andere überraschende Formel auf ihren Entdecker, da bin ich mir sicher!
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]