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Neuer Abschnitt in Pi und die Gammafunktion
\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Die Antwort auf 1.) liefert die Funktion \( s = arcsl(r) := \int \limits_{0}^{r} \dfrac{1}{\sqrt{1-t^4}} \ dt\), der arcus sinus lemniscatus . (arcus ist Lateinisch für Bogen, den Namen sinus, lat. für Krümmung, Biegung (kommt vom Aussehen des Graphen der Sinusfunktion), übernimmt Gauß einfach vom "normalen" Sinus.) Die genaue Herleitung steht auf Wikipedia: "Lemniskatischer Sinus". Die Antwort auf 2.) bekommen wir einfach durch Bildung der Umkehrfunktion: \(r = sl(s) := arcsl^{-1}(s)\) Dasselbe Problem für den Kreis \(x^2 + y ^2 = a\) hat nach Beschränkung auf den Einheitskreis mit a=1 die folgende Lösung: 1.) \(s = arcsin(r) = \int \limits_{0}^{r} \dfrac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \ dt\) Wieder bilden wir einfach die Umkehrfunktion: 2.) \(r = sin(s) := arcsin^{-1}(s)\) Gauß fällt auf, dass sich die Integrale für die Arkusfunktionen verdächtig ähnlich sehen, bloß, dass beim Kreis eine 2 steht, und bei der Lemniskate eine 4. In Analogie zur "Halblänge" des Umfangs des Einheitskreises \( \pi = 2 \cdot \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}} \ dt\) = 3,1415... definiert er jetzt die "Halblänge" des Umfangs der "Einheitslemniskate" \( \varpi = 2 \cdot \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-t^4}} \ dt\) = 2,62205... die sogenannte Lemniskatische Konstante mit dem griechischen Buchstaben "Varpi", der nicht zum offiziellen Alphabet gehört. Auch hat der lemniskatische Sinus eine ganz ähnliche Schwingungsbewegung in Abständen von \(2 \varpi\), wie der "normale" Sinus in Abständen von \(2 \pi\), entsprechend ist der lemniskatische Kosinus um \(\dfrac{\varpi}{2}\) verschoben. Doch im Gegensatz zum Sinus hat der lemniskatische Sinus eine zusätzliche "versteckte" komplexe Periode \(2 \varpi \cdot i\) ! Eine Funktion mit 2 (unabhängigen) Perioden nennt man auch Elliptische Funktion . (Womit man sich häufig in der Funktionentheorie 2 als Anwendungsthema beschäftigt. Leider gibt es das bei mir nicht mehr im Vorlesungsangebot.) Jede elliptische Funktion \(G(x)\) entsteht durch Umkehrung \(G(x) := F^{-1}(x)\) einer Integralfunktion der Form \(F(x) := \int \limits_{c}^{x} \dfrac{1}{\sqrt{P(t)}} \ dt\), wobei \(P(t)\) ein Polynom 3. oder 4. Grades, bei dem jede Nullstelle mit Vielfachheit nur einmal vorkommt, ist. Solch ein Integral heißt (auch bei fester Grenze) Elliptisches Integral und entsteht z.B. bei dem Versuch die Bogenlänge einer Ellipse auszurechnen. Ist \(Grad(P) > 4\), so heißt es entsprechend "Hyperelliptisches Integral" und die Funktion \(G(x)\) heißt "hyperelliptische Funktion". Im Folgenden wollen wir die Vorgehensweise von Gauß auf den hyperelliptischen Fall verallgemeinern, zunächst aus reinem Spaß an der Freud'.
 
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