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Neuer Abschnitt in Hamilton´s Traum - dreidimensionale k
\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Einführung

Wir beginnen natürlich mit einer sauberen Definition und erklären Addition und Multiplikation. Definition 1:(trikomplexe Zahlen, Addition, Multiplikation, neutrale Elemente)
Eine Zahl \(t\) der Form \(t = a + ib + jc, a,b,c \in \mathbb{R}\) mit folgenden Hamilton-Regeln \(i^2 = j, j^2 = i, ij = ji = 1\) heißt trikomplexe Zahl. Die Zahlen \( a,b,c \in \mathbb{R}\) nennen wir Komponenten. Die Menge aller trikomplexen Zahlen bezeichnen wir mit \(T\). Für \(t_1, t_2 \in T\) erklären wir "+" und "*": \(t_1 + t_2 = (a_1 + ib_1 + jc_1) + (a_2 + ib_2 + jc_2) := (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2) + j(c_1 + c_2)\) \(t_1 * t_2 = t_1t_2 = (a_1 + ib_1 + jc_1)(a_2 + ib_2 + jc_2) := (a_1a_2 + b_1c_2 + c_1b_2) + i(a_1b_2 + a_2b_1 + c_1c_2) + j(a_1c_2 + a_2c_1 + b_1b_2)\) Wir definieren: \(0_T := 0 + i0 + j0\) \(1_T := 1 + i0 + j0\) Soweit die Definition. Welche Eigenschaften haben Addition und Multiplikation? Diese fassen wir in folgendem Lemma zusammen. Lemma 1: Addition und Multiplikatioin sind assoziativ und kommutativ. Beweis: Ass. und Komm. von "+" ist offensichtlich. Komm. von "*" folgt aus den Hamilton-Regeln. Ass. von "*" ist leicht nachzurechnen. Das ist auf jeden Fall eine gute Nachricht. Wie schaut es mit den Umkehrungen aus?

Inverse Elemente

Definition 2: (inverses Element) Falls für ein \( t \in T\) ein \( u \in T\) mit der Eigenschaft \(t + u = u + t = 0_T\) existiert, so heißt \( u \) (additives) Inverses und schreiben: \( u:=-t\) Falls für ein \( t \in T\) ein \( v \in T\) mit der Eigenschaft \(tv = vt = 1_T\) existiert, so heißt \( v \) (multiplikatives) Inverses und schreiben: \( v:=t^{-1}\) Lemma 2: (additives Inverses) \( \forall t \in T \exists ! u \in T : t + u = u + t = 0_T\) Solche Beweise laufen klassisch ab und Studienanfänger dürfen sich gerne daran versuchen! Übung 1: Untersuche, für welche \(t \in T\) multiplikative Inverse existieren. Lemma 3: (multiplikative Inverse) \(t = a + ib + ic \in T\) hat ein eindeutiges multiplikatives Inverses \(u \in T\), wenn für die Komponenten gilt: \( a + b + c \neq 0 \) oder \( a^2 + b^2 + c^2 -ab-ac-bc \neq 0\)
 
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