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Neuer Abschnitt in Hamilton´s Traum - dreidimensionale k
\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Eigenschaften der Cosexponentialfunktionen

Die Cosexponential-Funktionen nehmen also ähnliche Rollen ein, wie die "klassischen" trigonometrischen Funktionen sin und cos. Es ist daher naheliegend nach Analogien Ausschau zu halten. Mit den Euler-Formeln erhält man direkt: Lemma: (Additionstheoreme) Für \(y,z \in \mathbb{R}\) gilt: \( cx(y+z) = cx(y)cx(z) + mx(y)px(z) + px(y)mx(z) \) \( mx(y+z) = px(y)px(z) + cx(y)mx(z) + mx(y)cx(z) \) \( px(y+z) = mx(y)mx(z) + cx(y)px(z) + px(y)cx(z) \) Denken wir an trigonometrische Identitäten, so fällt uns sofort der Pythagoras ein. Es hängt wohl davon ab, was wir von einem "Pythagoras" erwarten. Ist es die konstante 1 auf der einen Seite? Ist es die Summe der Quadrate? Das überlasse ich Euch. Lemma: (Sätze vom Pythagoras) Für \(y \in \mathbb{R}\) gilt: \( cx^2(y) + mx^2(y) + px^2(y) = \frac{1}{3} e^{2y} + \frac{2}{3} e^{-y} \) \( cx^3(y) + mx^3(y) + px^3(y) - 3cx(y)mx(y)px(y) = 1 \) Ich persönliche tendiere zur zweiten Gleichung. Es gibt natürlich noch weitere Identitäten, aber das soll es hier erstmal gewesen sein. Wir möchten nun die Bezeichnungen "cx", "mx" und "px" klären. Lemma: (elementare Darstellungen) \(cx(y)= \frac{1}{3} e^y + \frac{2}{3} \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}y) e^{-\frac{y}{2}} \) \(mx(y)= \frac{1}{3} e^y + \frac{2}{3} \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}y - \frac{2\pi}{3}) e^{-\frac{y}{2}} \) \(px(y)= \frac{1}{3} e^y + \frac{2}{3} \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}y + \frac{2\pi}{3}) e^{-\frac{y}{2}} \) cx = cosexponential mx = minus cosexponential px = plus cosexponential Man beachte die Verschiebung im cos. Diese drei Funktionen sind spezielle Lösungen der Differentialgleichung \( y''' = y \). Das alles ist freilich nicht von mir und hiermit lade ich herzlich ein, selbst weiter damit herumzuspielen. Folgender Artikel liefert weitere Einblicke, etwa trikomplexe Funktionen, trikomplexe Ableitung, Riemann-Gleichungen, Integral Ich selbst habe als Abiturient damals über dreidimensionale Zahlen nachgedacht und darüber philosophiert, woran Hamilton gescheitert ist. Demnach fand ich es umso genialer auf diesen Artikel gestoßen zu sein und hoffe, dass sich auch andere über diese Einblicke erfreuen. Hier wie angekündigt der Link: Quelle: arxiv.org/abs/math/0008120
 
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