Zerfällungsalgebra

Mit der Nullstellenalgebra ist bereits das Problem universell gelöst, eine Nullstelle in einer Erweiterung zu finden. Wenn wir das Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegen wollen, könnten wir einen Linearfaktor abspalten und mit dem Quotienten das Prozedere wiederholen, und so weiter. Wir können uns es aber dank unserer Quotientenkonstruktionen auch sehr einfach machen: Sei $f \in A[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Wir definieren die Zerfällungsalgebra $Z_A(f)$ als ein darstellendes Objekt des Unterfunktors $B \mapsto \{(\alpha,s_1,\dotsc,s_n) \in \mathrm{Hom}(A,B) \times U(B)^n : f^{\alpha} = (X - s_1) \cdots (X - s_n)\}$ von $\mathrm{Hom}(A,-) \times U^n$. Sie ist also die universelle Lösung des Problems, (in einer Erweiterung von $A$) das Polynom $f$ als ein Produkt von Linearfaktoren zu schreiben. Eine konkrete Konstruktion ist $Z_A(f) = A[S_1,\dotsc,S_n] / \bigl(f(X) = (X - S_1) \cdots (X - S_n)\bigr).$ Die Idee ist hier ganz einfach: erst adjungieren wir $n$ Variablen $S_1,\dotsc,S_n$ zu $A$, die natürlich unsere Nullstellen werden sollen. Also erzwingen wir einfach die entsprechende Polynomgleichung. Wie man solche Polynomgleichungen erzwingt, hatten wir bereits behandelt. Es gibt keine Notwendigkeit, zumindest was die Definition angeht, diese Polynomgleichung auf die Koeffizienten herunterzubrechen, zumal dann die ganze Idee verwässert werden würde. (Das ist hier der wesentliche Unterschied zur in der Literatur üblichen Vorgehensweise.) Es gibt $n$ natürliche Homomorphismen $N_A(f) \to Z_A(f)$, $[X] \mapsto [S_i]$. Außerdem wirkt die symmetrische Gruppe $\Sigma_n$ offenbar auf $Z_A(f)$ mittels $\pi(S_i) = S_{\pi(i)}$.

Beschreibung des Ideals

Man kann $Z_A(f)$ als Quotienten der Polynomalgebra $A[S_1,\dotsc,S_n]$ nach einem Ideal beschreiben: Dafür müssen wir zunächst das Produkt $(X - S_1) \cdots (X - S_n)$ ausmultiplizieren. Der Koeffizient von $X^i$ ist gleich $(-1)^{n-i} e_{n-i}(S_1,\dotsc,S_n)$, wobei $e_j$ das $j$-te elementarsymmetrische Polynom in $n$ Variablen bezeichne. Jetzt müssen wir einen Koeffizientenvergleich mit $f$ machen. Wenn $f = a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n-1} X^{n-1} + X^n$, lauten die Gleichungen also $\begin{align*} a_0 &= (-1)^n S_1 \cdots S_n \\ a_1 &= (-1)^{n-1} (S_2 \cdots S_n + S_1 S_3 \cdots S_n + \cdots + S_1 \cdots S_{n-1}) \\ & \vdots \\ a_{n-2} &= (S_1 S_2 + S_1 S_3 + \cdots + S_1 S_n + S_2 S_3 + \cdots + S_{n-1} S_n) \\ a_{n-1} &= - (S_1 + \cdots + S_n) \end{align*}$ Ist $I$ das von den Differenzen erzeugte Ideal in $A[S_1,\dotsc,S_n]$, so ist $A[S_1,\dotsc,S_n] / I$ also eine konkrete Realisierung der Zerfällungsalgebra $Z_A(f)$.

Rekursiver Aufbau

Wir geben jetzt eine rekursive Beschreibung der Zerfällungsalgebra an. Der Rekursionsanfang ist $n=0$, hier ist $f=1$ und $Z_A(f) = A$. Nun sei $n \geq 1$. Ein Vergleich der universellen Eigenschaften liefert uns natürliche Isomorphismen $\begin{align*} Z_A(f) & = A[S_1,\dotsc,S_n] / \bigl(f(X) = (X - S_1) \cdots (X - S_n)\bigr) \\ & = A[S_1,\dotsc,S_n] / \bigl(f(S_1)=0,\, f(X) = (X - S_1) \cdots (X - S_n)\bigr) \\ & = \bigl(A[S_1]/(f(S_1)=0)\bigr) [S_2,\dotsc,S_n] / \bigl( f(X) = (X - S_1) \cdots (X - S_n)\bigr) \end{align*}$ Über der Nullstellenalgebra $A[S_1]/(f(S_1)=0) = N_A(f)$ wissen wir, dass $f$ eindeutig durch $X - S_1$ teilbar ist (Satz von der Polynomdivision). Schreiben wir $g := f / (X - S_1) \in N_A(f)[X]$, so können wir also die Isomorphiekette fortsetzen mit $\begin{align*} & = N_A(f)[S_2,\dotsc,S_n] / \bigl( g(X) = (X - S_2) \cdots (X - S_n) \bigr)\\ & = Z_{N_A(f)}(g). \end{align*}$ Hierbei ist $g$ normiert vom Grad $n-1$. Die Koeffizientenalgebra von $g$ ist aber nicht $A$ wie bei $f$, sondern die Nullstellenalgebra $N_A(f)$ von $f$. Ein Nachteil dieser rekursiven Beschreibung ist, dass die Symmetrie in der Definition von $Z_A(f)$ verloren gegangen ist. Ein großer Vorteil ist aber, dass wir im nächsten Abschnitt etwas über die $A$-Modulstruktur von $Z_A(f)$ aussagen können.

Basis der Zerfällungsalgebra

Mit der rekursiven Beschreibung von $Z_A(f)$ können wir nun induktiv zeigen, dass $\left\{ [S_1^{k_1} \cdots S_n^{k_n}] : 0 \leq k_1 < n,\, 0 \leq k_2 < n-1,\, \dotsc, 0 \leq k_n < 1 \right\}$ eine $A$-Modulbasis von $Z_A(f)$ ist. Insbesondere ist $Z_A(f)$ ein freier $A$-Modul vom Rang $n! = n \cdot (n-1) \cdots 1$. Der Induktionsanfang mit $n=0$ ist klar. Sei nun $n \geq 1$, und es gelte die Behauptung für $n-1$ und alle $A$. Wir wissen $Z_A(f) = Z_{N_A(f)}(g)$, wobei $g$ normiert vom Grad $n-1$ ist. Nach Induktionsannahme ist $Z_A(f)$ also ein freier $ N_A(f)$-Modul mit der Basis $\left\{[S_2^{k_2} \cdots S_n^{k_n}] : 0 \leq k_2 < n-1,\, \dotsc, 0 \leq k_n < 1\right\}.$ Nun hatten wir bereits gemerkt, dass $N_A(f)$ ein freier $A$-Modul mit der Basis $\left\{[S_1^{k_1}] : 0 \leq k_1 < n\right\}$ ist. Mit dem folgenden einfachen Lemma, welches man in der Körpertheorie in einem Spezialfall als "Gradsatz" kennenlernt, folgt nun die Behauptung. Lemma. Sei $A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $M$ ein $B$-Modul. Wenn $M$ ein freier $B$-Modul mit Basis $\{m_i : i \in I\}$ ist und $B$ ein freier $A$-Modul mit Basis $\{b_j : j \in J\}$ ist, dann ist $M$ ein freier $A$-Modul mit der Basis $\{b_j m_i : i \in I,\, j \in J\}$. Beachte, dass das Einselement ebenfalls zur genannten Basis von $Z_A(f)$ gehört. Insbesondere ist der natürliche Homomorphismus $A \to Z_A(f)$ injektiv. Wir dürfen uns daher $A$ als eine Unteralgebra von $Z_A(f)$ vorstellen (was aus der Definition nicht direkt ersichtlich ist). Insbesondere gilt: Wenn $A \neq 0$, dann ist auch $Z_A(f) \neq 0$. Das ist nun insofern bemerkenswert, dass natürlich $f$ immer über der trivialen Algebra aus trivialen Gründen in ein Produkt von Linearfaktoren zerfällt, wir uns aber natürlich für eine nicht-triviale Lösung interessieren. Mithilfe der Basis kann man die Invariantenalgebra $Z_A(f)^{\Sigma_n} = \bigl\{w \in Z_A(f) : \forall \sigma \in \Sigma_n \, ( \sigma(w)=w) \bigr\}$ ausrechnen (siehe Proposition 4 in A. D. Barnard, Commutative Rings with Operators, Proc. Lon. Math. Soc. s3-28 (2)): $\displaystyle Z_A(f)^{\Sigma_n} = \begin{cases} A & n \neq 2 \\ \{a + b [S_1] : a,b \in A,\, pb=0,\, 2b=0\} & f = X^2 + pX + q \end{cases}$ Falls $2 \in A^{\times}$ gilt also immer $Z_A(f)^{\Sigma_n}=A$.

Lineare Polynome

Für lineare Polynome $f = X + p \in A[X]$ ist natürlich $Z_A(f) = A$, was sofort aus der Definition folgt, andererseits aber auch aus der rekursiven Beschreibung und $Z_A(1)=A$ folgt.

Quadratische Polynome

Wenden wir die allgemeine Theorie einmal auf den Fall $\deg(f)=2$ an. Hier ist also $f = X^2 + pX + q$ mit $p,q \in A$, und die Zerfällungsalgebra ist $Z_A(f) = A[S,T] / \bigl( f = (X - S)(X - T) \bigr) = A[S,T] / \bigl(S + T = -p,\, ST = q\bigr).$ Außerdem wissen wir, dass $\{1,S\}$ eine $A$-Modul-Basis von $Z_A(f)$ ist. Die rekursive Beschreibung sagt uns außerdem $Z_A(f) = N_A(f) = A[S]/\bigl(S^2+pS+q=0\bigr)$, was natürlich einfach die Tatsache wiederspiegelt, dass ein normiertes quadratisches Polynom bereits dann zerfällt, wenn es eine Nullstelle besitzt. Beachte, dass der Rang hier immer zwei ist, auch wenn zum Beispiel $f = X^2$ und somit $f$ bereits über $A$ zerfällt.

Kubische Polynome

Im Fall $\deg(f)=3$ schreiben wir $f = X^3+pX^2 + qX + r$ mit $p,q,r \in A$. Dann ist die Zerfällungsalgebra $Z_A(f) = A[S,T,U] / \bigl( f = (X-S)(X-T)(X-U) \bigr) = A[S,T,U] / \bigl(S+T+U = -p,\, ST+SU+TU = q,\, STU = -r \bigr)$ mit der $A$-Basis $\{1,S,S^2,T,ST,S^2 T\}$. Die rekursive Beschreibung sagt uns hier $Z_A(f) = A[S]/\bigl(f(S)=0\bigr)[T]/\bigl(f(T)/(T-S) = 0\bigr),$ wobei man etwas konkreter $f(T)/(T-S) = (f(T)-f(S))/(T-S) = (T^2+TS+S^2) + p(T+S) + q = T^2 + (S+p)T + (S^2+pS + q)$ schreiben kann. Für $f = X^3$ bekommt man zum Beispiel $A[S,T] / \bigl(S^3=0,\, T^2+ST+S^2=0\bigr)$. Und für $f = X^3 + X + 1$ bekommt man $A[S,T] / \bigl(S^3+S+1=0,\, T^2+ST+S^2+1=0\bigr)$.